2.2 等差数列
2．2.1 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
预习课本P35～38，思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？ (2)等差数列的通项公式是什么？ (3)等差中项的定义是什么？ [新知初探]
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2)
3．等差中项
an＝a1＋(n－1)d 如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝
x＋y2
.
[点睛] 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关( )
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列( )
解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( ) A．4－2n C．6－2n
解析：选C ∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
3．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( ) A．1 C．±1
解析：选C 由已知得，?
??a1
B．2n－4 D．2n－6
B．－1 D．±2
a1＋2d＝8，
??a1＋d＝3，
解得d＝±1.
4．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是________． 解析：lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项为：
3＋2答案：0
＋
2
3－2
＝
3＋2
2
3－2
lg 1＝＝0.
2
等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2，
??a1＋4d＝－1，∴???a1＋7d＝2，
??a1＝－5，
解得?
??d＝1.
(2)设数列{an}的公差为d.
??a1＋a1＋5d＝12，
由已知得，?
?a1＋3d＝7，?
??a1＝1，
解得?
?d＝2.?
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． [活学活用]
1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A．第1 006项 C．第1 008项
B．第1 007项 D．第1 009项
解析：选B ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2 016＝2n＋2，∴n＝1 007.
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知?
?a1＋???a1＋
－－
d＝33，
d＝217，
??a1＝－23，
解得?
??d＝4.
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，所以153是所给数列的第45项.
等差中项的应用
[典例] 已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式． [解] 在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
??a2＋a4＝12，∴?
?a2·a4＝11，???a2＝11，当?
?a4＝1?
??a2＝11，
解得?
?a4＝1?
??a2＝1，
或?
?a4＝11.?
时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
??a2＝1，
当???a4＝11
时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． [活学活用]
1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.
解析：因为8，a,2，b，c是等差数列， 8＋2＝2a，??
所以?a＋b＝2×2，
??2＋c＝2b.
a＝5，??
解得?b＝－1，
??c＝－4.
答案：5 －1 －4
2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________. 解析：由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21. 答案：21