表三 油位高度/mm 411.29 423.45 438.33 450.54 463.9 892.92 904.34 917.34 929.9 941.42 954.6 968.09 980.14 理论计算 实际储 储油量/L 油量/L 999.1649 1047.449 1107.165 1156.651 1211.263 3033.33 3078.76 3129.949 3178.84 3223.165 3273.233 3323.724 3368.141 962.86 1012.86 1062.86 1112.86 1162.86 2962.73 3012.73 3062.73 3112.73 3162.73 3212.73 3262.73 3312.73 理论计算值（理论计算值--实际值 实际值）/实际值 36.3049 34.589 44.3048 43.7907 48.4033 70.6004 66.0302 67.2191 66.1103 60.4353 60.5032 60.9942 55.411 0.037705274 0.034149833 0.041684512 0.039349694 0.041624357 0.023829509 0.021917065 0.021947446 0.021238688 0.019108587 0.018832333 0.018694222 0.016726688 从以上对结果的分析可以知道，以上建立的函数关系式可以用来对罐体变位后储油量的计算。可用以上公式⑶、⑷、⑸对罐容体进行重新标定。在h?(150,1160)时，对变位和没有变位时同一高度的储油量比较的图10，Matlab程见附件六。由图10可以看出变后油位探针监测同一油位高度时，变位前的储油量大于变位后的储油量。所以需要对罐容表进行重新标定。

首先建立对应于⑶式的体积积分函数V1=tuo1（h,?）（见附件七）和⑸式的体积积分函数V3=tuo3（h,?）（见附件八），再分别编写程序算出h?(0,0.1469)对应的V1值，0.1469m?h?1.1713m对应的V2值（V2和附件三中的V等价），1.1713m

综合图形和表格可以看出，在误差允许的范围内，该模型计算得到的结果具有可行性，进而可以说明该模型是正确可靠的。从而问题一得到解决。

表四 油位高 度/m 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

储油量/L 1.6744 3.531 6.2635 9.9748 14.7563 20.6908 27.8542 36.3163 46.1424 油位高 度/m 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 储油量/L 595.2452 630.1462 665.5808 701.5256 737.9584 774.8577 812.203 849.9747 888.1537 9

油位高 度/m 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 储油量/L 1798.524 1841.797 1885.131 1928.513 1971.931 2015.372 2058.824 2102.275 2145.713 油位高 度/m 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 储油量/L 3072.427 3112.001 3151.234 3190.11 3228.612 3266.722 3304.421 3341.691 3378.511

0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 57.3935 70.127 84.3968 100.2541 117.7475 136.923 157.8184 180.2591 203.9994 228.9066 254.8849 281.8577 309.7608 338.5387 368.1426 398.5285 429.6567 461.4906 493.9967 527.1438 560.9024 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 926.7217 965.6608 1004.954 1044.584 1084.535 1124.791 1165.336 1206.155 1247.234 1288.557 1330.111 1371.881 1413.854 1456.015 1498.352 1540.851 1583.499 1626.283 1669.19 1712.208 1755.323 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 2189.126 2232.5 2275.824 2319.086 2362.273 2405.372 2448.372 2491.259 2534.02 2576.643 2619.115 2661.423 2703.552 2745.491 2787.225 2828.74 2870.022 2911.057 2951.83 2992.326 3032.531 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 3414.862 3450.72 3486.064 3520.87 3555.114 3588.769 3621.808 3654.2 3685.915 3716.918 3747.171 3776.636 3805.266 3833.013 3859.819 3885.618 3910.332 3933.859 3956.056 3976.51 3995.392 4012.599 450040003500300025002000150010005000 0无变位纵向变位 图10

0.20.40.60.811.21.4

七、 问题二的模型建立与求解

1．体积公式推导

由以上问题分析⑴式可得：发生纵向偏转和横向偏转时的油位探针监测高度h0

转换为只有纵向变位时的油位探针监测高度h，有：

10

h?R?cos??h?R?cos??h0?R? h0?R

则以下只需建立只有纵向变位时储油量与油位高度的数学模型。 纵向偏转下储油量与油位高度的关系式建立如下：

图11

如图11（储油罐发生变位后的等价示意图）所示， l1表示油位探针与圆柱体左端面的距离，l2表示油位探针与圆柱体右端面的距离，h1，h2分别表示液面与圆柱体左端面、右端面的交线到圆柱体底部的距离，则有：

h1?h?l1tan?h2?h?l2tan? ………………〔6〕

由图1和题目中的数据可得：(r?1)2?R2?r2，r为球冠体的半径，R为圆柱体横截面的半径，由R=1.5求得r=1.625m。图11中h1x为油液面与左球冠体的交线和油液面与圆柱体左端面的交线的高度差，设d为球冠体球心到对应圆柱体端面的距离，则

2h??d=r-1=0.625m，由勾股定理：?d?1x????h1?R??h1x??r2，所以可以得到h1x和?的

tan???关系式。

2h?2?同理，可得到和?的关系式：?d?2x???h2x?h2?R??r2

tan???我们把实际储油罐体积分为三部分计算，在问题的分析中已有说明，即为中间圆柱体、左球冠体、右球冠体体积的计算。

（1）中间圆柱体体积的计算：

由图12所示的油面和圆柱体左右端面都相交的情况简单容易计算体积，所以先计算这种情况下的体积。如下所示。其他较复杂的情况———油面低于圆柱体右端面

h2x

11

2

最低点和油液面高于圆柱体左端面最高点时的情况，在计算总体积时计算。

图12 图13

油面法向量为?0,sin?,cos??,且油面过点?0,0,z0?,由几何关系（如图13）有

z0?l1?l2tan??h2?R,故油面方程为: 2ysin???z?z0?cos??0?z?z0?ytan?体部分储油量为：V1?

如图13，?yt1,yt2分别为左、右端面的y轴坐标值，又x2?z2?R2?1.52，则可得圆柱

?yt2?yt1dy?z0?ytan??1.521.52?z2dz，记为V1?yt1,yt2?。

（2）左球冠体、右球冠体体积的计算。

为了方便计算左球冠体、右球冠体储油的体积，如图14，我们把这每一侧的球冠体的体积用一平行于x0y平面的截面切割成两部分，且两截面与圆柱体底部的距离分别为h1，h2。这两部分体积我们分别形象地称之为V阴、V平。

首先计算下图14左球冠体阴影部分的体积V阴，左的公式:

图14 图15

由几何关系有（图15）: d?0.625 z??h1?R?z??h1?R? ?tan????dx?dxtan?又斜面过点?0.625,0,h1?R?,斜面的单位法向量为(?sin?,0,cos?)，故斜面方程为:

12