专题15 动点综合问题

【典例分析】

【考点1】动点之全等三角形问题

4y??x?43【例1】如图，直线与x轴和y轴分别交于A,B两点，另一条直线过点A和

点C(7,3).

(1)求直线AC的函数表达式; (2)求证: AB?AC;

(3)若点P是直线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P,Q,A为顶点的三角形与?AOB全等，求点Q的坐标.

【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C

点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

【考点2】动点之直角三角形问题 【例2】（模型建立）

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，?ACB?90，CB?CA，直线ED经过点C，过A作AD?ED于点D，过B作BE?ED于点E.求证：?BEC??CDA； （模型应用）

o（2）已知直线1：

ly?4x?4ol3与坐标轴交于点A、B，将直线1绕点A逆时针旋转45至l直线2，如图2，求直线2的函数表达式；

（3）如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为

l?8,?6?，点A、C分别在坐

标轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y??2x?6上的动点且在第四象限.若

?APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标.

【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.

①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP． （1）求∠AFB的度数；

（2）在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG?DP＝DG?BD；

（3）已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP的长．

【考点3】动点之等腰三角形问题

【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，

AD?53，CD?5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

（1）求?CAD的大小；

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使?AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由． ②?MBN的大小是否改变？若不改变，请求出?MBN的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．

【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD边长为2，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ.设AP=x.

（1）当x?1时，求BP长；

o?CQD?90PQCD（2）如图②，若的延长线交边于E，并且，求证：?CEQ为等腰

三角形；

（3）若点P是射线AD上的一个动点，则当?CDQ为等腰三角形时，求x的值.