19．（12分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA． （1）若b＝1，A＝（2）已知C＝

，求sinB；

，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．

20．（12分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．

21．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D四个点． （1）求r的取值范围；

（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；

（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知正实数a，b满足a+b＝4．

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平分圆M的周长．

（1）求+的最小值． （2）证明：

．

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2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（ ） A．{﹣2，﹣1，0}

B．{﹣1，0，1，2}

C．{﹣1，0，1}

D．{0，1，2}

【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}， ∴A∩B＝{0，1，2}． 故选：D．

2．（5分）若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i， 得z＝∴|z|＝故选：D．

3．（5分）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A．方差

B．中位数

C．众数

D．平均数

．

，

【解答】解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50， 根据方差公式知方差不变． 故选：A．

4．（5分）若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（ ） A．20

B．15

C．10

ar?x12

﹣3r

D．25

，令12﹣3r＝6，求得

【解答】解：（x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1＝r＝2，

可得展开式中x6的系数为

?a2＝150，则a2＝10，

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故选：C．

5．（5分）设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝a4＝（ ） A．9

B．27

C．81

D．

，3a4﹣10a3+3a2＝0，则

【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0， 解可得q＝3或，

又由数列{an}为递增的等比数列，则q＝3， 若S4＝

，则S4＝

＝40a1＝

，解可得a1＝，

则a4＝a1q3＝9， 故选：A．

6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b＝（ ） A．2

B．3

C．﹣2

D．﹣3

【解答】解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a， ∴

则a﹣b＝3． 故选：B． 7．（5分）函数

的部分图象大致为（ ）

，解得

．

A． B．

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