资组合中，规模(In(ME))和β几乎完全相关（相关系数-0.98），因此难以将规模和β在平均回报率担任的角色上加以区别。

有一个方法能使β产生显著的变动但是又与规模无关，即先按照规模组成投资组合然后再按照β组成投资组合。如同Table I 到Table III，本文发现单独用规模组成的投资组合中，β产生的独立变动会消除β和平均回报率间的正相关性。此结果在1941年到1990年间的NYSE股票和1963年到1990年间的NYSE、AMEX和NASDAQ股票都有相同的情形。

此附录也有研究方法上的目标，例如:在Table III的FM回归使用个股回报率当因变量。本文分配投资组合的βs给个股，但是以公司特有值中其他变量如规模，β可能在个股中回归式中处于不利地位。但是，此附录中显示，把β和规模放在同等地位的投资组合回归中，产生的结果比得上个股的回归。

A. Size Portfolios

Table AI显示采用1941年到1990年间NYSE股票，由规模所形成的12组投资组合用以比较平均月回报率和市场βs的关系，在这些规模组成的投资组合中，显示平均回报率和β有显著的正相关。从最小ME到最大ME的投资组合，平均回报率从1.96%降至0.93%，而β则由1.6降至0.95。在Table AI 中FM回归中显示由规模组成的投资组合中，平均回报率和β存在正相关。在只考虑β和规模投资组合回报率回归式中，每月一单位β的平均溢价为1.45%。在个股回报率回归式每一单位β的平均溢价1.39%。两者都有3倍标准误。然而规模投资组合中βs仍未脱离规模残差的影响。从Table AI中得知简单回归之回报率对β做回归得到的平均残差与size无关。1941年到1990年间，这些正向的SLB结果与Chan和Chen(1988)在1954年到1983年对于规模投资组合所做检验得到的结果相似。

然而从Table AI中显示在规模投资组合中βs不是一个好的解释变量。他们在规模和平均回报率之关系衡量做了一个很好的研究，但在衡量β和平均回报率之关系则是糟糕的。以回报率做回归分析β之残差依个股pre-ranking βs来分群，低β的股票会有正的平均残差0.51%；而高β的股票会有负的平均残差-1.05%。因此显示了由规模投资组合所推估的市场线，其β在平均回报率中的抵换关系被夸大了；他们低估了低β股票的平均回报率且高估了高β股票的平均回报率。这个由个股β排序的平均残差样本中建议(a)β在个股中的变动无法在规模投资组合中取得。(b)相对于规模而言，β的变动无法取得回报率。

B. Two-Pass Size-β Portfolios

如同Table I用个股βs进一步将规模细分，结果导致β显著波动且规模彼此独立。在规模等分中β的排序总是产生相似于平均ln(ME)但不同于βs的投资组合。Table AII也显示出在规模独立之下的β，投资者对于β的波动并未给予补偿。尽管在每一个规模等分中βs有很大的范围，平均回报率也并未因β而上升。 在Table III中FM回归将size和β在1941年到1990年间的NYSE平均回报率的角色定型。单独由β的回报率做回归是为了显示由size和β所形成的投资组合之βs会优于单独由size所组成，造成了β的平均斜率由每月1.39%跌至0.24%因此，β的变动与size是无关的此推翻了平均回报率与β是相关的论点。

在Table III中市场线是成立的，然而在Table AI中，可以消除β与平均残差之间的负相关。因此，size和β所构建的投资组合(Table III)，可产生相较于只单

独由size所组成的投资组合(Table AI)对于平均回报率和β之间的关系有较好的描述。当投资组合只单纯由size所组成时且改善对平均回报率与β之间关系的描述，可证明无法由β估计Two-Pass Size-β投资组合中真实βs的变动。

不幸的，TableAIII中市场线因size残差影响所以要负担成本。个别股票以ME为基础来分群，在100组size-β投资组合中βs的回报率所做回归中的平均残差显示小规模股票会有正值，而大规模股票则有负值(最小ME群每月0.6%，最大ME群为-0.27%)。因此若考虑了β的变动以及size是独立的，则将导致βs在平均回报率上脱离size的影响。这种size残差影响如同Banz(1981)采用由size和β所组成的投资组合中的βs相似。

在只单由size所组成的投资组合中，size与β的相关系数为-0.98。在β的独立变动中，包含两次排序β较低者之间的相关系数为-0.5。此较低的相关系数其意为在回报率的双变量回归中β与ln(ME)似乎是用来区别平均回报率中真实β影响与真正size影响。

在双变量回归中对于β而言在size-β投资组合中使用βs是一个坏消息。ln(ME)的平均斜率近似于size回归中非变量的价值，且有几乎4倍的标准误；但β的平均斜率是负的并且小于1倍标准误。此双变量回归指出size与平均回报率有高度相关。但在Table AIII回归只用β来解释平均回报率，而双变量回归中说明当βs无法替代size时，β与平均回报率不存在可靠的相关性。这些在1941年到1990年间NYSE股票所指出对SLB不利的论点与Table III中1963年到1999年间NYSE,AMEX和NASDAQ股票有相似的研究结果。

C. Subperiod Diagnostics

本文在1941年到1990年间研究结果似乎和Black, Jensen和Scholes(BJS)(1972)以及Fama和MacBeth(FM)(1973)有相同的理念：即对β与平均回报率存在正相关的看法是对立的。在BJS和FM中所采用的βs是由β组成的投资组合中选出的，而且市场指标是采用NYSE的等值加权投资组合。本文使用由size和β所组成的投资组合中的βs以及当(a)市场指标是采用NYSE市值加权的投资组合(b)投资组合只由βs组成(c)由size-β组成的投资组合变动由size到β变成β到size时，对于本文所推估的β与平均回报率不相关的理念是不变的。 本研究和早期研究最主要的不同在于样本期间。BJS和FM的研究在1960年代结束。Table AIV显示当本文平均的将1941年到1990年的时间平均分开，则由β所组成的FM回报率回归中，在1941年1965年间平均斜率(每月平均0.5%,t=1.82)，如同早期的研究结果，比照1966年到1990年间平均斜率则趋近于0(每月平均-0.02,t=-0.06) Table AIV显示造成1941年到1965年间和1966年到1990年间的误差是由于平均回报率与β其简单回归会有较大的抵换关系是因在1941年到1950年期间β每月产生平均1.26%的溢价且超过2倍标准误。反之，1966年到1990年间平均回报率与β之相关性微弱，是因在1981年到1990年间负平均斜率(-1.01, t=-2.1)抵制了正的平均斜率(0.82,t=1.27)。1941年到1965年间回归式中增加size(ln(ME))变量将造成β的平均斜率由0.5(t=1.82)下跌至0.07(t=0.28),对照双变量回归中得知其值为(-0.16, t=-2.97)近似于(-0.17, t=-2.88),和1941年到1950年间解释相似。总而言之，在Subperiod中任一β的正平均溢价将隐藏在size效应中。

D. Can the SLB Model Be Saved?

在对没有解释力下结论之前，在本研究中应适当的考虑其他的解释变量。一

个可能的结果显示由size排序的β产生的波动可能只是样本误差，如此一来β的波动和平均回报率不具相关性也将不令人意外，或者在双变量检验中size影响了β，这对βs的标准误建议的解释都无法使SLB Model被保留。由size和β组成的投资组合标准误(0.02到0.11)只稍稍大于单纯只由size组成的投资组合标准误(0.01到0.1, Table AI)。而且在size之内的post-rankingβs的范围中可知与βs的标准误有高度相关。

其他可能的适当情形(1)若实际的βs随时间变动，则在FM测试中，使用整期的post-rankingβs并不会比由size和β所组成的投资组合来的好，若此会构成一个问题，则在size-β投资组合中post-ranking βs和Subperiod不应该有高相关性。

在1941-1965和1966-1990前半期中，在size-β投资组合中βs的相关性是0.91，本文中有利的证据显示一整期的β估计真实的投资组合信息，也可用过去5年的βs在FM回归结果发现只要是由size和β所组成的投资组合，对于β在平均回报率的角色上结论仍未改变。

在Table AII中可知，任何想要证实SLB Model中β与平均回报率有简单正相关的理论都将面临3个不利的情形(a)由size和pre-ranking βs所组成的投资组合中都将使得post-ranking βs产生很大的范围。(b) post-ranking βs会再复制出一个pre-rankingβs用来组成由β排序的投资组合(c)与SLB Model对立，β sort无法在平均回报率上产生相似的排序。在Table AII中以size deciles 排序的平均回报率矩阵中，高β投资组合的平均回报率小于或近似于低β投资组合。

在Table AIII中，在回报率回归的β违反了SLB Model的不利论点，当此测试允许β的变动与size无关，以及即使当β是唯一的解释变量时在1941-1990年间，β与平均回报率的关系是微弱的或者不存在。结论：SLB无法描述过去50年的平均股票回报率。

表1

1963年7月至1990年12月，按规模和β形成的投资组合的平均回报、post-ranking βs 和平均规模：股票先按ME（向下）然后

pre-ranking β（横向）排序：

逐年形成投资组合。规模（ME，股价乘以流通股股数）的分点以t年6月在CRSP数据库所有NYSE的股票。所有NYSE, AMEX, 和 NASDAQ 股票符合CRSP-COMPUSTAT数据的要求，按照CRSP分点分配进10个规模是投资组合。每个规模组合再按照用t年6月前的2-5年的月度收益估计个股的β分成10个投资组合。我们只用符合CRSP-COMPUSTAT数据的要求NYSE的股票建立β分点。然后再计算100个投资组合从t年7月至t+1年6月的等值加权月度收益。

每个投资组合的post-ranking βs 用全期（1963年7月至1990年12月）样本post-ranking回报估计的。Pre-和post-ranking βs（这里和其他所有的表）是回归的斜率总和来源于NYSE, AMEX, 和 （1972年 以后）NASDAQ股票按照市值加权的投资组合，月度回报对现在和之前的月回报的回归。平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。投资组合的规模是个股每年6月末月平均ln(ME)时间序列平均数，ME用百万美元表示。

按照Size-β分组的投资组合中，最小规模组合的每月平均股票数量在70到177之间，在第2和第3组的数量在15到41之间，剩下的7组的数量在11到22之间。

每一列表示按照规模等值加权投资组合的数据，每一行表示股票按照β分组等值加权投资组合的数据。