在某个BE/ME分类中的规模投资组合的回报率价差约为0.58%。平均回报率矩阵给从回归中得出的结论赋予了生命：若控制规模，账面市值比可显著解释平均回报率的变动；若控制账面市值比，平均回报率可看出规模效应。

B. The Interaction between Size and Book-to-Market Equity

个股ln(ME)和ln(BE/ME)每月平均横截面相关性为-0.26。在Tables II 和Tables IV中以ME或BE/ME排序投资组合中的ln(ME)和ln(BE/ME)平均值的负相关也是显而易见的。因此，低市值的公司更可能会有差的前景，从而造成低股价以及高账面市值比。相反的，高市值的公司可能会有好的前景，高股价以及低账面市值比还有低的平均回报率。

在Table III中规模和账面市值比之间的相关性会对回归式造成影响，若将ln(BE/ME)并入ln(ME)做回归，ln(ME)平均斜率将从单变量回归的-0.15 (t = -2.58)变成双变量回归的-0.11(t 值 -1.99)，同样的，将ln(ME)并入ln(BE/ME)中则平均斜率从0.50 降至0.35(仍有4.44的标准误)。因此，在简单回归中的规模效应部分，是因为小ME股票更可能有高的账面市值比率，账面市值比效应部分则是因高BE/ME的股票倾向于降低(有低的ME) 。

但是，本文不该夸大规模与账面市值比之间的关系。ln(ME)和ln(BE/ME)之间的相关性为-0.26并非相当大，在Table III中双变量回归的平均斜率显示ln(ME)和ln(BE/ME)都需要解释横截面的平均股票回报率。最后，在Table V 10 x 10的平均回报率矩阵中提供了具体的证明：(a)在控制规模下，账面市值比能够解释横截面的平均回报率的主要变动。(b)在BE/ME的范围内规模与平均回报率是相关的。

C. Subperiod Averages of the FM Slopes

Table III中在1963年到1990年间平均FM斜率，在横截面股票回报率中size会有负溢价，账面市值比则有正的溢价，市场β的平均溢价实质上为0。Table VI显示来自两个大约相等期间(1963年7月到1976年12月以及1977年1月和1990年12月)的回归式的平均FM斜率：(a)横截面股票回报率对规模(ln(ME))和账面市值比(ln(BE/ME)做回归 ，(b)回报率对β,ln(ME)和ln(BE/ME)做回归。表中也分别显示，NYSE股票以市值加权与等值加权投资组合的平均回报率。

在FM回归中，截距项是标准投资组合(股票的投资权重加权为1)的回报率，解释变量平均权重为0 (Fama (1976)，第九章 )。在本文的检验中，截距项权重倾向于小股票(ME单位用百万表示，所以ln(ME) = 0隐含ME = 1 百万美元)相对高账面市值比的公司（表VI中ln(BE/ME)对一般公司来说是负的，所以当ln(BE/ME)=0时倾向于更高的样本比率）。因此平均截距相对标准误和NYSE在市值加权与等值加权的回报率来说很大并不令人意外。

像完整期一样，子期也没有提供很大的希望于用β解释平均溢价具有重要经济意义。β在1963年到1976年间的平均FM斜率中是微小的正值(每月平均0.1%, t = 0.25)而在1977年到1990年间为负值(平均每月-0.44%, t = -1.17)，这也暗示在1977年到1990年间规模效应是更弱的，但是关于在子期平均规模斜率的推论缺乏说服力。

不同于规模效应，账面市值比与平均回报率在1963年到1976年间以及1977年到1990年间都有很强的相关性。ln(BE/ME)的平均斜率超过2.95个标准误，子期的平均斜率（分别为0.36与0.35）都接近整期的平均斜率（0.35）。子期的结果因此支持这个结论：在所有考虑的变量中，账面市值比是解释平均股票回报

率横截面最有力的解释变量。

最后，Roll (1983) and Keim (1983)证明size效应在一月时影响最显着。在Table VI中本文测试了在FM回归中以每月斜率证实账面市值比和平均回报率之间的一月效应。ln(BE/ME)在一月的平均斜率是二月到十二月的2倍。不同于size的影响，然而账面市值比与平均回报率之间的显著相关性并非特别只在一月。ln(BE/ME)在二月到十二月的平均每月斜率中大约有4倍标准误，而且接近整年度的平均斜率(误差在0.05以内)。因此，账面市值比确实有一月效应，但其与平均回报率的正相关性在整年度都非常高。

D. β and the Market Factor: Caveats

关于β在平均回报率中扮演的角色，一些负面证据的附加说明是必须的。β, 规模, 和账面市值比的平均溢价取决于这些变量在回归式上的定义。例如：将账面市值比 (ln(BE/ME))换成市值 (ln(BE))，只要规模(ln(ME))在此回归式中,则这个改变不会影响截距项和拟合值（R2）。但这个改变会使ln(ME)的平均斜率（和t统计量）增加。换句话说，规模的风险溢价会跟着提高。对β, 规模和账面市值比等重新加以定义也会产生不同的回归斜率或者关于平均溢价的不同推论，包含恢复β作用的可能。当然，目前并没有任何选用不同变量的理论基础。

此外，这里的检验仅限于对股票。若包含在其他资产，将可能改变β, 规模以及账面市值比对于平均溢价的推论。例如，在Table VI中FM回归有很大的平均截距，其说明了此回归在国库券上并非一个好的估计式，因为国库债有低的平均回报率，有可能在回报率中对潜在市场,规模和账面市值比因子有较小的压力。把检验拓展到票据与其他债券可能会使改变本文对于平均风险溢价推论，包含恢复市场β的作用。

然而，本文强调用了不同的检验方法也不可能恢复SLB 模型。恢复SLB 模型需要一个更好的变量代表市场投资组合，(a)必须颠覆本文提出的证据：市场投资组合中β与平均回报率无关 (b)以及β是平均回报率的唯一个解释变量。但此结果似乎是不太可能的。Stambaugh (1982)的证据是在检验SLB 模型时，其对于选择一个市场代理变量的敏感度似乎是很小的。因此，如果存在β平均收益的起作用，它很可能在多因子模型中被发现，这个多因子模型把平均回报和β之间的平坦简单关系转换成正斜率条件关系。

V. 结论和启示

SLB模型早已塑造了学术界和实务界对于平均回报率与风险之间的思维方式，Black, Jensen和Scholes(1972)以及Fama和MacBeth (1973)发现，正如此的预测，在1926年到1968年间的CRSP NYSE回报率资料中，平均回报率与市场β之间存在简单的正相关。但Reinganum (1981)和Lakonishok和Shapiro (1986)发现在1963年到1990年期间，平均回报率与市场β之间简单的正相关消失了。本研究的附录中显示在1941年到1990年期间的NYSE股票的平均回报率与β之间的相关性非常薄弱。总而言之，在本研究的测试中不支持SLB模型中关于平均股票回报率与市场β之间存在正相关的论点。

Banz(1981)证实平均回报率与公司规模(size)之间有显著的负相关。Bhandari(1988)发现平均回报率与杠杆(leverage)存在正相关，Basu(1983)发现平均回报率和E/P之间存在正相关。Statman(1980)，Rosenberg、Reid和Lanstein(1985)

证实以美国股票而言平均回报率和账面市值比 之间存在正相关。Chan,Hamao和Lakonishok (1992)发现在日本股票市场，BE/ME对于平均回报率是一个有力的解释变量。

如规模、收益价格比、杠杆、和账面市值比等变量都是用来衡量公司股价的标准。Ball(1978), Keim(1988)认为这些变量可被视为是依不同的方法从横截面预期股票回报率中的股价抽取出的信息。因为这些信息都是价格的衡量标准，因此预期其中一些用来解释平均回报率的变量时多余的是合理的。本文的主要研究结果是1963-1990年之间规模及账面市值比可获得与规模、收益价格比、杠杆、账面市值比相关的平均股票回报率横截面变动。

A. 合理的资产定价描述

本文研究结果会和资产定价理论一致吗?因为所有股票FM截距被限定为必须一致，FM回归总是会在回报率和预期回报率中强行加入线性因子，如此才符合Merton(1973)和Ross(1976)多因子资产定价模型。因此本文的研究平均回报率和规模与账面市值比之关系上强加了一个合理的资产定价框架。

即使本文研究结果和资产定价理论一致，他们在经济上也不能令人满意。在经济解释上，规模与账面市值比在平均回报率中所扮演的角色为何?以下建议几种方法：

(a) 回报率对ln(ME)和ln(BE/ME)的月度FM回归中的截距和斜率，如同以规模和账面市值比来分析一般风险因子仿真的投资组合回报率(Fama 1976，第九章)。测试投资组合的回报率和用来衡量商业环境变动的经济变量间的相关性，如此有助于揭露由size和账面市值比解释的经济风险。

(b) Chan, Chen和Hsieh(1985)认为在规模和平均回报率的关系代表了预期回报率和经济风险因子的更加基本的关系。评级由低到高公司债的月回报率差异，是解释规模效应最有利的因子，原则上违约风险在获取回报率上是需要被额外定价的。是否在检验中加入这个或者其他经济因子是有趣的，如Chen，Roll和Ross(1986),可以解释规模和账面市值比在本文的检验。

(c) 与此相类似，Chan和Chen(1991)认为规模和平均回报率间关系是有相当前瞻的影响。不良公司的盈余前景对经济环境是更加敏感的，这些在回报率中的不良因子都将导致预期回报率需要被额外定价。Chan和Chen以股利变动和杠杠为基础，以此不良因子构建2个虚拟的投资组合。他们证明在检验加上不良因子后，是否会吸收规模和账面市值比在平均收益中的影响有趣的。

(d) 事实上，如果股价是合理的。账面价值和市场价值比率(BE/ME)应能直接说明公司的相对前景。例如，本文预期高BE/ME的公司在资产上相对于低BE/ME的公司会有较低的盈余。在研究中建议应将高和低BE/ME公司依经济基础衡量后明确分开，低BE/ME公司持续表现强劲，而高BE/ME公司经济表现将持续疲软。

B. 不合理的资产定价描述

上面所讨论的假设由规模和账面市值比获得的资产定价影响是合理的。BE/ME是本文对于预期回报率是最有力的变量，很明显是一个替代变量。而账面市值比的横截面资料可能是对于公司相对前景的过度反应。若此过度反应的趋于被修正，则BE/ME可用来预测横截面股票回报率。

无法以简单的检验确认规模和账面市值比对平均回报率的影响是由于对市场的过度反应，至少由DeBondt和Thaler(1985)所假定的是这样的。DeBondt和

Thaler(1985)使用近3年的股票回报率资料，来测试过度反应的现象，他们的过度反应理论预测过去3年的输家相对于赢家有更强的post-ranking回报。在个股的FM回归中，滞后3年的回报甚至是单独用来解释平均回报率时并没有有力的解释。对于滞后回报的单变量回归，平均斜率是每月-0.06%，但是标准误小于0.5。

C. 应用

本文主要研究结果是 2个简单的变量规模和账面市值比似乎可以描述横截面平均股票回报率。使用这个结果取决于(a)是否会持续存在(b)是否由合理或不合理的资产定价中所造成的。

有可能只是在偶然的机会下， 规模和账面市值比对于本文样本中描述横截面的平均回报率是有力的，但却与预期回报率是不相关。本文认为这种可能性几乎没有，特别是对于账面市值比。首先，尽管BE/ME一直被吹捧为衡量股票平均回报率的前景，但没有证据显示其解释力随着时间降低，在1963年到1990年间BE/ME与平均回报率之间有显著的相关性；若将时间分成1963年到1976年间和1977年到1990年间两个子期，结果也是非常的。第二，本文在经济基本面上的初步工作表明，高BE/ME的公司相对于低BE/ME的公司更可能持续性惨淡收益。显而易见的，1980年代小公司相较于大公司则有长期间的盈利不佳。在基本面中的系统模式给了我们一些希望：规模和账面市值比代表了在和相对收益的前景有关回报中的风险因子，也就是在预期回报率下是被合理定价的。

如果本文的研究结果并不是偶然的，则这个结果对主要关心长期平均收益的投资者来说，对他们的投资组合形成和绩效评估具有实践意义。如果资产定价是合理的，规模和BE/ME将是重要的风险因子。本文的研究结果意味着可以通过比较有相似规模和BE/ME特性的标准投资组合的平均收益，来评估管理资产组合(如养老基金和共同基金)的绩效。同样的，对于不同的投资组合策略的预期收益可以由相匹配的规模和BE/ME特性所组成的投资组合的历史平均回报率来推测而得。

如果资产定价是不合理的且规模和BE/ME不是风险因子，本文研究仍可能被用来评价投资组合绩效和衡量不同投资策略下预期回报率。但是，若股价是不合理的，则此研究结果持续存在的可能是值得怀疑的。

附录

Size versus β: 1941-1990

本文研究采用1963-1990年间的股票进行分析，显示出β和平均股票回报率之间缺乏相关性，这与Black, Jensen 和 Scholes (1972)、Fama和MacBeth(1973)、Chan和Chen(1988)检验SLB模型的结果是相矛盾的，因此更进一步的检验是合适的。本文检验了规模和 β在平均回报率所扮演的角色，资料是采用NYSE从1941年到1990年间半个世纪的股票来进行研究，是避开了经济大萧条对回报率的高度波动的最长时间段。本文在检验中不包含会计变量，因为在1962年之前COMPUSTAT的数据是有很大偏见的（倾向于成功的公司）。

本文先参考了Chan和Chen(1988)年的研究结果。和他们一样，本文发现当只采用规模组成的投资组合中，不论是规模和β都与平均回报率有高度相关；当β上升，则平均回报率上升；当规模下降，则平均回报率上升。在规模组成的投