2015届高三数学题型与方法专题十：排列组合、二项式定理
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【基础测试】
１、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位若8名同学入座每人做一个位置，则不同的做法种数是 （D）
5353A.C8C8 B.P21C8C8 C.P85P83 D.P88
2、若2x??3?3?a0?a1x?a2x2?a3x3，则?a0?a2?2??a1?a3?2的值为 (A )
A.?1 B. 1 C.0 D. 2
3、乒乓球队的10队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，三名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 252 种。 4、不等式Cn?156437,8,9? 。 ?Cn?1?Cn?1?Cn?1的解集为 ?1??5、在代数式4x?2x?5?1?2?的展开式中，常数项为 15 。
?x??2?5【典型例题】
例1、把由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数，把它们按从小到大的顺序排成一列，构成一个数列。
（1）43251是这个数列的第几项？ （2）这个数列的第96项是多少？ （3）求这个数列的各项和。 解：3. （1） 4 3 5
5 P4?24， P3?6
4 5 P2?2
?120??24?6?2??88，? 43251是第88项 （2）由（1）易知第96项是45321
（3）由于1，2，3，4，5在个位上的五位数各有P4个，因此，这些五位数的个位上的数字为
?1?2?3?4?5??P4?360，?这个数列的各项和为
360?
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?1?10?102 ?103?104?3999960?例2、用数字0，1，2，3，4，5
（1） 可以组成多少个没有重复数字的六位数？ （2） 试求出这些六位数的和 解：
（2）最高位数字之和为?1?2?3?4?5?P5P5?600，5?15P5
其余数位上的数字之和为?1?2?3?4?5??4P4 15P5例3、在
?60P4
1?105?60P41?10?102???104?15P5?105?60P4?1111???1?ax?7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若a?1，求
5?10 5a的值。
解：a?例4、已知a、b?0，m、n?0且2m?n?0若项是常数项，求常数项。 解：C12a48m?axm?bxn?12的二项展开式中系数最大的
b4n;
lgx例5、如果
?x?3的展开式中最后三项的二项式系数的和等于22，又展开式的中项等于
n?2n?2n?1nn?1n ?Cn?Cn?Cn?22，化简得 ,Cn,Cn?n?540000，求x的值。
解：最后三项的二项式系数为Cnlgx，?xn2?n?42?0,?n?6,n??7（舍）?3的中项为 3T3?1???1??C6?33xlgx3??n??23??540x3lgx??540000
?x3lgx?1000,?lgx??1,?lgx??1，?x?10或x?【巩固提高】
1. 101．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是____
613_______（结果用最简分数表示） 18?160
2??2.在?x??的二项式展开式中，常数项等于
x??3、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅
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有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）
2 34、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。 0.985； 5
．
在
平
面
直
角
坐
标
系
中
，
从
六
个
点
：
A(0、,B0、)、C(2、,D0)、3 4E(中任取三个，这三点能构成三角形1F的概率是____________（结果用分数表示）.
6．组合数Cr,n、r∈Z）恒等于 [答]（ D ） n(n?r?1r?1r?1n?1r?1Cn?1. (B)(n+1)(r+1)CrC (C)nrC (D)n?1n?1n?1r177.在(x?a)10的展开式中，x的系数是15，则实数a=____ - ______。
2（A）
学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____
r?1n?1.
8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名
9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果
用分数表示)
3 ______。（结果用分数表示） 74 1110.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机
选两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）
119 190mnf?x???1?x???1?x?，的展开式中，含x项的系数为19。
11.已知m,n?N,（1）求（2）当（1）
f?x?的展开式中含x2项的系数的最小值；
f?x?的展开式中含x2项的系数的最小时，求含x7项的系数。
?C2m2?Cn?min777（2）x的系数为C10?C9?156 ?81，
12.已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列．
0120123?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3; （1）求和：a1C2（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明;
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012 [解]（1）a1C2?a2C2?a3C2?a1?2a1q?a1q2?a1(1?q)2,
0123a1C3?a2C3?a3C3?a4C3?a1?3a1q?3a1q2?a1q3?a1(1?q)3.
（2）归纳概括的结论为：
若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则
0123na1Cn?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)nan?1Cn?a1(1?q)n，n为整数． 0123n证明：a1Cn ?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)nan?1Cn0123n ?a1Cn ?a1qCn?a1q2Cn?a1q3Cn???(?1)na1qnCn0123n ?a1[Cn?qCn?q2Cn?q3Cn???(?1)nqnCn]?a1(1?q)n.
13.已知x?x?3?2?n?a2nx2n?a2n?1x2n?1???a1x?a0，记
f?n??a2n?1?a2n?3?a2n?5???a3?a1，设Sn?f?1??f?2??f?3????f?n?，求limSn。
n??5n?a2n?a2n?1???a1?a0
n解：令x?1，3n令x??1，5?a2n?a2n?1???a1?a0
3n?5n ???a3?a1?2从而
f?n??a2n?1?a2n?3?a2n?5Sn?1?3?5??32?52???3n?5n?12?3n?1?5n?1?1 28????????Sn12?3n?1?5n?1?15??。 ?limn?limnn??5n??885
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