基于matlab的几个干涉实验模拟

------------吴旭普 摘要：根据干涉原理对牛顿环，杨氏双缝和迈克尔逊干涉仪原理进行分析得到各种参数的关系，采用计算机模拟方法并通过软件matlab编程并运行得到干涉图样 关键词：干涉 matlab 牛顿环 杨氏干涉 迈克尔逊干涉仪 一．牛顿环干涉模拟 1.建模

如图，牛顿环是一种分振幅法产生干涉的装置，由一光平玻璃和一曲率很大的平凸透镜构成，平玻璃和平凸透镜之间形成了一个空气劈尖，且其等厚轨迹是以接触点为圆心的一系列同心圆，所以干涉条纹的形状也是明暗相间的同心圆。在编制程序之前，我们需要对决定干涉条纹特征的光程差、相位差与干涉条纹半径r，光波波长

和平凸透镜的曲率半径R之间的

曲率半径R之间的关系。

对于形成牛顿环干涉处的空气层厚度e，两相干光的光程差为: ??2e?由几何关系：

所以两相干光的相位差为：两相干光的干涉光强为：

=

其中

?2

因为R>>e ,所以

分别是反射光1和反射光2

略去故得:

的光强，为使问题简单化设平凸透镜和平板玻璃的反射率均为15%，并且设两反射光的光强近似相等，均设为

最终牛顿环干涉的光强为

2.程序编写

Clear all %清除内存

lamd=600e-9; %设定入射光波长 R=10; %设定牛顿环曲率 rm=1e-2; %设定干涉条纹区域 x=0:0.0001:rm; y=rm:-0.0001:0; [X,Y]=meshgrid(x,y); r2=X.^2+Y.^2;

phi=2*pi*(r2/R+lamd/2)/lamd; %相位差

I=4*cos(phi./2).^2; %第一象限干涉光强 N=255; %设定灰度等级

Ir2=(I/4.0)*N; %最大光强为最大灰度 Ir1=fliplr(Ir2); %矩阵对称操作 Ir3=flipud(Ir1);

Ir4=flipud(Ir2);

Ir=[Ir1 Ir2;Ir3 Ir4]; %构造图像矩阵

figure

image(Ir,'XData',[-0.02,0.02],'YData',[0.02,-0.02]); %画干涉条纹 colormap(gray(N)); axis square

Title（“牛顿环干涉光强”）

3．运行程序与结果分析

如图2，模拟结果与实验一致，通过以上推倒可知牛顿环条纹与相位差有很大联系。可以通过改变相位差的方法来观察条纹变化情况和中央干涉点的明暗变化等情况图3．4．5是不同相位差模拟的图片

图2 图3

图3 图4

图2到图5相位差逐渐增大可见相位差越大干涉条纹就越密并且中央干涉点越亮。 二．杨氏双缝干涉模拟 1.建模

如图，两狭缝间距为d，双缝所在平面一屏幕平行，两者之间的垂直为D,O为屏幕上的坐标原点且与两狭缝对称。两个狭缝光源满足振动方向相同，频率相同，相位差恒定的相干条件。两光在空间相

遇，将产生干涉现象。屏幕上出项干涉条纹。设OP=y有几何关系得两个相干光源到达屏幕

上任意点p的距离分别为 光程差为

，相位差为：设分别为光源单独屏幕P处的振幅光强风别为

，叠加后的光强

，两列光的波叠加后的振幅为：

为：

；设两列光波在屏幕上相遇点振幅相等，P点光强为：

其中当

时为暗条纹。

时为干涉明条纹。

2.编写程序

clear

lam=600e-9 %设定入射光波长 a=2e-3; %缝间距

D=1; %屏与缝的间距 ym=5*lam*D/a; %设定屏幕的范围 xs=ym; n=101;

ys=linspace(-ym,ym,n); for i=1:n

r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2); r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2); phi=2*pi*(r2-r1)./lam;

B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).^2); %干涉光强 end

N=255; %设定灰度等级 Br=(B/4.0)*N subplot(1,2,1);

image(xs,ys,Br); %画干涉条纹 colormap(gray(N));subplot(1,2,2);

plot(B,ys);

title（’杨氏干涉光强’） 3．程序运行和结果分析

如图7为杨氏双缝干涉的条纹和光强的图像从以上推倒可知，决定干涉条纹变化的因素有D、?等，其中?起着重要的作用它代表了不同颜色的光因此考虑当改变波长?会导致干涉条纹发生一些变化。

图7.8.9分别是波长为1000nm.636nm.323nm所的到的干涉图像，从图上数据可知随着波长的减小干涉条纹的间隔也在减小，这与公式中所推倒的结论相同。 三．迈克尔逊干涉仪的等倾干涉模拟 1.建模

迈克耳孙干涉仪的光路如图10所示S是扩展光源,G1是分光板，在半反射镜面A上镀有一层银膜,入射光在此分成相互垂直的两部分光束1和光束2,分别经过平面镜M1和M2反射,再通过A形成相互平行的两束光,复合起来互相干涉,在E处成像于透镜焦平面上或进入观察者的眼睛.由于光束1在G1中通过了三次,光束2在G1中仅通过了一次,因而在光束2的光路上加一块材料和厚度与G1完全相同的补偿板G2,使光束1和光束2在玻璃板中有相同的光程.在E处向G1看,可以

看到被G1反射的M2的虚像M′2.光束2经过M2反射到达E处的光程与经过M′2反射到达E处的光程严格相等,可以认为在E处观察到的干涉现象是由存在于M1和M′2之间的空气薄膜产生的.

对于形成牛顿环干涉处的空气层厚度e，两相干光的光程差为：；由图中几何关系得：；相干光的相位差为两相干光的干涉光强为设M1和M′2之间的等效空气膜的厚度为d,则像光源S′1和S″2之间的距离为2d.当入射光在半反射镜面A上的入射角与45°的偏差角为i时,从像光源S′1发出的光束1和从像光源S″2发出的光束2与透镜E光轴的夹角也为i,两条光束的光程差为

当M1和M′2的距离d一定时,所有入射角相同的光束

都具有相同的光程差,干涉情况完全相同.由像光源S′1和S″2发出的相同倾角的光线将汇聚于透镜E的焦平面且以光轴为中心的圆周上,形成等倾干涉条纹.条纹形状为明暗相间的同心圆环,第m级明环的形成条件是

。

设透镜到接收屏的距离为D,当入射角为i时,相应的干涉环的半径为r[2],则有

光束1和光束2在接收屏上会聚处所对应的光程差和相位差分别为

设光束1和光束2到达接收屏前光强为

,则会聚之后的合成光强为

2.程序编写

Clear all; %清除内存 xmax=10;ymax=10; %设定屏幕范围 Lambad=632.8e-006;f=200; %设定入射光波长 n=1.0; N=150;

x=linspace(-xmax,xmax,N); y=linspace(-ymax,ymax,N); for k=0:15

d=0.39-0.00005*k; %

和

空气膜厚度

for i=1:N for j=1:N

r(i,j)=sqrt(x(i)*x(i)+y(j)*y(j));

B(i,j)=cos(pi*(2*n*d*cos(asin(n*sin(atan(r(i,j)/f)))))/Lambad).^2 %干涉条纹 end end

figure(gcf);

NClevels=255; %设定灰度 Br=2.5*B*Nclevels;

image(x,y,Br); %画干涉图像 colormap(gray(NClevels)); set(gca,'XTick',[]); set(gca,'YTick',[]); drawnow pause End

3.程序运行和分析

如图为模拟的得到的迈克尔逊干涉仪的干涉图