⑷?⑴ 显然成立.

定理: Lindeloff正则空间是正规的

证明: 设F、H为X的不相交闭集.对于F的各点x取其开领域U(x)使得

U(x)∩H=?.同样地对于H的各点y,取其开领域 V(y)使V(y)∩F=?.因为

F是Lindeliff的,故有F?U{U(xi)i?N}.同样地,有H?U{V(yi)i?N}.若令

U?U(x1)?(?(U(xi)??V(yi))), V??(V(yi)??U(xj)),则它们是开的且

i?2j?ii?1j?i??F?U,H?V.为了说明U∩V=?.设有点z∈U∩V.取i使得z∈

U(xj)?V(y1)???U(xi).因z∈U故有i?j存在,使

z?U(xj)?V(y1)???V(yi)???V(yj?1).故z?V(yi)发生矛盾.

由于T1空间中每一个单点集都是闭集,因此T4空间一定是T3空间, T3空间一定是Hausdorff空间.

定理3.2.5 对于拓扑空间X下述性质是等价的:

⑴ X满足T3空间

⑵ 若x∈U,且U为开的,则存在开集V使x∈V?V?U.

证明: ⑴?⑵ 因x?X?U,而X－U是闭集,故有开集V、W,使x∈V,

X－U?W,V∩W=?.由V?X－W?U, 有V?X?W?X?W?U.

⑵?⑴ 令x?F且F?F,则x?X?F且X?F是开集,故有开集V,使x∈

V?V?X－F.令U?X?V,则U是开的, V∩U=?且F?U.

在此证明中,若将点换成闭集,则得到结果如下: 定理3.2.6 对于拓扑空间X下述性质是等价的: ⑴X满足T4;

⑵ 若F?U, F是闭的, U是开的,则有开集V存在,使得F?V?V?U. 最后,我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些公理(指T0至

T4,以及正则正规空间等),为此,我们只要证明: 定理3.2.7 每一个度量空间都是T4空间

证明: 设(X,d)是一个度量空间,如果x、y∈X, x≠y,则d(x,y)?0,令

????d(x,y),于是球形领域B(x,)和B(y,)分别是x和y的开领域,并且易见它

22们无交,因此X是一个Hansdorff空间,自然它们也是T1空间.

现在设A和B是X中的两个无交闭集,假如A和B中有一个是空集,例如B= ?,这时我们可以取X为A的开领域. ?为B的开领域,它们的交当然是空集.以下假定A和B都不是空集.对于x,y∈X.如果x?B,则d(x,B)＞0,如果y?A,则

11d(y,A)＞0,记?(x)?d(x,B), ?(x)?d(x,A),并且令U??B(x,?(x))，

22x?AV??B(y,?(y))显然U和V分别是A和B的开领域.以下证明U∩V=?.若不然,

y?BU∩V≠?.设Z∈U∩V.由于Z∈U,所以存在x1∈A,使得d(Z,x1)＜?(x1),由于Z∈V,所以存在y1∈B,使得d(Z,y1)＜?(y1),不失一般性,设?(x1)??(y1).于是我们有:d(x1,y1)?d(x1,Z)?d(Z,y1)＜ 2?(x1)?d(x1,B)这与d(x1,B)的定义(d(x1,B)=inf{d(x1,y)∣y∈B})矛盾.这就证明了X是一个正规空间.

3.3完全正规、完全正则空间

ⅰ 相关定义

定义3.3.1 如果拓扑空间X的每一个子空间都是正规的,则称X为一个完全正规空间. 完全正规的T1空间叫做T5空间.

定义 3.3.2 拓扑空间X的集合A、B是隔离的,如果A?B?A?B=?. 定义3.3.3 设X是一个拓扑空间.如果对于任意x∈X和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射f：X→[0,1]使得f(x)=0以及对于任何y∈B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.

ⅱ 完全正规、完全正则空间的性质

定理：完全正规的每个子空间是完全正规空间

证明: 设(X,?)是完全正规空间. Y?X,A和B是Y的两个隔离子集,则A和B也是X的两个隔离子集.因为X是完全正规空间,所以存在U、V??使

~~A?U,B?V且U∩V=?,则U=U∩Y, V=V∩Y是Y的两个开集,且A?U~~~~∩Y=U,B?V∩Y=V且U∩V=(U∩Y) ∩(V∩U)=(U∩V) ∩Y?U∩

V=?,所以Y是完全正规空间.

定理 完全正则的每一个子空间都是完全正则空间

证明: 设(X,?)是一个完全正则空间,Y?X,设y?Y,B是Y的一个闭集,y?B,则y?X,且存在X的闭集A使B?A?Y.因为y?Y,y?B,所以

y?A.在(X,?)中考虑y和闭集A.因为(X,?)是完全正则空间,所以存在连续

映射f:X→[0,1]使f(y)?0,对任何x∈A,f(x)?1.因为f:X→[0,1]连续,所以fY:Y?[0,1]连续,且fY(y)?f(y)?0.对每一个x?B也有x∈A,所以

fY(x)?f(x)?1,(X,?Y)是完全正则空间.

引理3.3.6 设X=X1?X2???Xn是n?1个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间,又设Y也是一个拓扑空间,则映射f：Y→X连续当且仅当对于每一个

i?1,2,?,n,复合映射pi?f:Y→Xi连续,其中, pi:X?Xi是积空间X对于第i个坐标空间Xi的投射.

引理3.3.7 设映射m：[0,1]2→[0,1]定义为：对于任意t?(t1,t2)∈[0,1]2,

m(t)?max{t1,t2}则m是一个连续映射.

证明：对于每一个a?(0,1],m?1([0.a))?[0,1)2 中的一个开集;而对于每一个b∈

[0,1),

m?1([0,b])?[0,b]2中的一个闭集,因

此,m?1([b,1])?m?1([0,1]?[0,b])=[0,1]2?m?1([0,b])是[0,1]2中的一个开集.由于集族??{[0,a)a?(0,1]}?{(b,1]b?[0,1)}是[0,1]的一个子基.可见m是一个连续映射.

定理3.3.8 设X1,X2,?,Xn是n?1个完全正则空间．则积空间

X1?X2???Xn也是完全正则空间.

证明: 我们只需证明n=2的情形. 设x=(x1,x2)∈X1?X2和B是X1?X2中的一个不包含x的闭集.则存在x1在X1中的一个开领域U1和x2在X2中的一个开领域U2使得x=(x1,x2)∈U1×U2?X1×X2 –B 由于X1和X2都是完全正则

空间,所以对于任何i=1,2,有连续映射fi:Xi?[0,1]2使得对于任意y=(y1,y2)∈

pi (其中~pi是X1?X2,f1?f2((y1,y2))?(f1(y1),f2(y2))由于pi?(f1?f2)?fi?~X1?X2的第i个投射,pi是[0,1]2的第i个投射).因此pi?(f1?f2)连续.根据引理3.3.6可见f1?f2是一个连续映射.令f?m?(f1?f2):X1?X2?[0,1],其中映射

m: [0,1]2 →[0,1]的定义见于引理3.3.7中,由于它是两个连续映射的复合,所

以连续.此外,我们有:f(x)?m?(f1?f2)(x)?max{f(x1),f(x2)}?0并且如果

y=(y1,y2)∈X1?X2－U1×U2,则或者y1?U1或者y2?U2,因而或者f1(y1)?1或者f2(y2)?1,从而此时有:f(y)?m?(f1?f2)(y)?max{f(y1),f(y2)}?1.由于

B?X1?X2?U1?U2,故对于每一个y?B有f(y)?1.所以积空间X1?X2是一

个完全正则空间.

定理 设X和Y是两个同胚的拓扑空间,如果X是一个完全正则空间,则Y也是一个完全正则空间.

证明: 设h:X?Y是一个同胚.对于Y中的任意一个点x和任意一个不包含点x的闭集B.h?1(x)和h?1(B)分别是X中的一个点和一个不包含点h?1(x)的闭集.由于X是一个完全正则空间,故存在一个连续映射f:X→[0,1]使得

f(h?1(x))?0和对于任何y?f?1(B)有f(y)?1.于是连续映射

g?f?h?1:Y?[0,1]满足条件:g(x)?0和对于任何Z?B有g(Z)?1.

ⅲ 完全正规、完全正则空间的其它性质 根据完全正规空间的定义,我们可以得到: 推论3.3.1 每个完全正规空间都是正规的.

根据定义3.2.3、定理3.2.7和定义3.3.1我们可以得到: 推论 3.3.2 每一个度量空间都是一个T5空间.

定理 3.3.3 拓扑空间X是完全正规的当且仅当对于X中任意一对隔离子集A与B,总存在开集U与V,使得A∩U,B∩V,U∩V=?.

证明: 必要性 设X是一个完全正规空间.令S=(A?B)?那么, S是空间X的开集,

S∩A与S∩B相对地闭于S中,并且

(S?A)?(S?B)?S?(A?B)=?. S作为X的子空间是正规的,则存在S的相

对开集U与V使得S?A?U, S?B?V,U∩V=?.因为S开于X中,而U与V