单点集{x}是一个闭集.

⑵?⑶ 设{x1,x2,?,xn}是X的一个有限子集.当⑵成立时,我们有,

{x1,x2,?,xn}?{x1}?{x2}???{xn}?x1?x2???xn?{x1,x2,?,xn}即{x1,x2,?,xn}是一个闭集.

?{x1}?{x2}???{xn}⑶?⑴ 设x,y∈X,x≠y,当⑶成立时,单点集{x}和{y}都是闭集.从而{x}?和{y}?分别是y和x的开领域,前者不包含x,后者不包含y,这就证明了X是一个T1空间.

3.2 正则、正规、T3、T4空间

ⅰ 相关定义

定义3.2.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域,它们互补相交(即如果x∈X和A?X是一个闭集,使得x?A,则存在x的一个开领域U和A的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正则空间.

定义3.2.2 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开领域并且这两个开领域互不相交(即如果A、B?X都是闭集,则存在A的一个开领域U和B的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正规空间.

定义3.2.3 正则的T1 空间称为T3空间,正规的T1 空间称为T4空间. ⅱ 正则、正规、T3、T4空间关系

我们由拓扑空间的定义可知T4空间是T3空间，但拓扑空间的正则性和正规性之间没有必然的蕴涵关系.如X={1,2,3}取?={?,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}则

(X,?)是正规空间而非正则空间.但是我们不可能找到一个如此简单的正则而非

正规的空间.

定理 :设X是有限集,若(X,?)是正则空间,那么(X,?)是正规空间. 证明:设A,B是(X,?)的两个不相交的闭集,因为X有限,所以可以设

A?{a1,a2,?,an},因为(X,?)是正则空间,所以对ai(i?1,2,?,n)和B,有开集Ui、

Vi ,使ai∈Ui、Bi?Vi ,且Ui∩Vi=?.令U?U1?U2???Un，

V?V1?V2???Vn,则U、V为开集,A?U,B?V且

U?V?(U1?U2???Un)?(V1?V2???Vn) =[U1?(V1?V2???Vn)]∪…

∪[Un?(V1?V2???Vn)]? (U1?V1)???(Un?Vn)= ?,所以(X,?)为正规空间.

ⅲ 拓扑性质

定理 正则空间的每一个子空间都是正则空间

证明:设X是一个正则空间,Y是X的一个子空间.设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y?B,首先,在

X~~中有一个闭集B使得B∩Y=B.因此y?B.由于X~~是一个正则空间,所以y和B分别在X中有开领域(对于拓扑空间X而言)U和

~~~~~V使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y.它们分别是y和B在子空间Y中开领域,显然U∩V=?.

定理 正规空间的每一个闭子空间都是正规空间

证明:设Y是正规空间X的一个闭子空间. A,B是子空间的闭集,则对于A、

~~~~~B也为X中的闭集,所以存在X中的一个开领域U、V,使得U∩V=?,令U=U~∩Y, V=V∩Y则U∩V=?所以Y是一个正规空间.

定理 T4空间的每一个闭子空间都是T4空间

证明: 设Y是T4空间的一个闭子空间,m、n是闭子空间Y中的任意点,其中

~m≠n,因为Y是T4空间的一个闭子空间,所以m对于T4空间有开领域U,使得~~n?U.令U?U?Y,则n?U,所以Y是T1空间.下证Y为正规空间: A、B是子空~间Y的闭集.因为A、B也为T4空间中的闭集,所以存在T4空间的一个开领域UA、

~~~~~VB使得UA∩VB= ?令UA=UA∩Y, VB=VB∩Y,它们分别是A、B在闭子空间

Y中的开领域,则UA∩VB = ?,所以Y为正规的.

定理 设X1,X2,?,Xn是n?1个正则空间,则积空间X1?X2???Xn也是正则空间.

证明: 我们只需证明n?2的情形.设x?(x1,x2)?X1?X2,集合U是x在

X1?X2中的一个开领域,则有x1在X1中的一个开领域U1和x2在X2中的一个开领域U2,使得U1×U2?U.由于X1和X2都是正则空间.故x1在X1中有一个开领域V1使V1??U1, x2在X2中有一个开领域V2使得V2??U2,于是V1×V2是x在

X1?X2中的一个开领域,并且V1?V2?V1??V2??U1?U2?U.这就证明了是一个正则空间.

这个定理说明正则空间具有有限可积性质.我们也容易证明T0,T1空间也具有有限可积性质.

定理： 设X和Y是两个拓扑空间,f：X→Y是满的连续映射，如果X是一个正则空间，则Y也是一个正则空间．

证明：设y?Y,闭集A?Y且y?A.因为f是一个满的连续映射,则在X中有

f?1(y)?X,f?1(A)?X.因为X是一个正则空间,所以在X中存在f?1(y)和

f?1~~~~(A)的开领域U和V,使得U∩V=?．因为f是一个满的连续映射,所以在Y中存在y、A的开领域U、V,使得U∩V= ?,所以Y也是一个正则空间．

定理： 设X和Y是两个拓扑空间, f：X→Y是满的连续映射,如果X是一个正规空间，则Y也是一个正规空间．

证明：A、由于f是一个连续映射则fB是Y中的两个闭集，是X中的两个闭集.由于X是一个正规空间,则f?1?1(A)和f?1(B)(A)和f?1(B)分别存在一个开

~~~~领域U和V.使得U∩V=?,由于f是满的连续映射,则在Y中存在A、B的开领域U、V使得U∩V=?,所以Y也是一个正规空间．

ⅳ 正则、正规、T3、T4空间其它性质

定理3.2.1 设X是一个拓扑空间,则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开领域U,存在x的一个开领域V使得V?U.

证明： 必要性 设X是一个正则空间，如果x∈X,集合U是x的一个开

领域,则U的补集U?便是一个不包含点x的闭集.于是x和U?分别有开领域U1和

?V1使得U1∩V1=?.从而U1?V1?,所以U1?V1??V1??U即U1??U.

充分性 设x∈X和A是一个不包含x的闭集.这时A的补集A?是

x的一个开领域,根据定理中所陈述的条件可见,有x的开领域U使得U?A?.令

?

V=U?,则有A?U.所以V是A的一个开领域,并且易见U∩V=?,这证明X是一个正则空间.

引理3.2.2 拓扑空间X为正则空间,当且仅当对X中的任一点x以及不含点x的任一闭集B, x、B分别有开领域U、V,使得C(U)∩C(V)=?.

定理3.2.3 拓扑空间X为正则空间,当且仅当对X中的任一点x以及X中不含点x的任一闭集B, x、B分别有闭领域U、V,使得U∩V=?.

证明: 必要性 设X为正则空间,由引理3.2.2的必要性知,对X中任一点xV1，以及X中不含x的任一闭集B, x、B分别有开领域U1、使得C(U1)∩C(V1)=

?,令U= C(U1),V= C(V1)则U、V分别为x、B的闭领域,且U∩V=?.

充分性 设X的任一x以及不含x的任一闭集B, x、B分别有闭领域

U、V,使得U∩V=?,于是x∈i(U)?U,B?i(V)?V,故C(U1)∩C(V1)= ?,根据引理3.2.2的充分性可知X为正则空间.

定理3.2.4 设X是拓扑空间,则下列命题等价: ⑴ X为正规空间;

⑵ 对于X中的任意闭集A和每个包含A的开集U,存在开集V使得

A?V?V?U;

⑶ 对于X中的任意两个互不相交的闭集A、B,存在开集U,使得A?U及U∩B=?;

⑷ 对于X中的任意两个互不相交的闭集A、B,存在开集U,使得

A?U,B?V且U∩V=?.

证明: ⑴?⑵ 由已知X为正规空间, A为闭集, U为开集且A?U,则

X-U为闭集且(X-U)∩A=?.由定义在X中的开集V、V1,使得A?V,

X-U?V1,且V∩V1= ?,从而有V? X -V1及X-V1?U.因为X-V1为闭集,则V?X-V1?U,从而A?V?V?U.

⑵?⑶ 已知A、B为X中的任意两个互不相交的闭集,因此X-B为开集且A?X-B,由⑵则存在开集U,使得A?U?U?X－B,从而U∩B=?. ⑶?⑷ 已知A、B为X中的任意两个互不相交的闭集,由⑶知存在开集U,使得A?U及U∩B=?,从而U与B为X的两个互不相交的闭集,再由⑶知存在开集V,使得B?V及U∩V=?.