第1章 绪论
拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段．
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对T0、T1、T2、正则、正规、T3、T4、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．
第2章 可数性公理
2.1 第一第二可数性公理
ⅰ 可数性公理的相关定义
定义 设X是一个集合，?是X的一个子集族．如果?满足下列条件： ⑴ X，?∈?；
⑵ 若A，B∈?，则A∩B∈?； ⑶ 若?1??，则?A??1A??， 则称?是X的一个拓扑．
如果?是集合X的一个拓扑，则称偶对(X,?)是一个拓扑空间，或称X是一个相对于拓扑?而言的拓扑空间；本文中约定?是一个拓扑则可称集合X是一个拓扑空间．此外?的每一个元素都叫做拓扑空间(X,?)（或X）中的一个开集． 定义2.1.1 某拓扑空间的一个基或在某一点的一个领域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数领域基．
定义2.1.2 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间或简称为A2空间．
定义2.1.3 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．
定义2.1.4 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个
拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间． ⅱ A1、A2相互蕴涵关系
引理2.1.3 设x是一个拓扑空间x∈X,如果
?是X的一个基,则
?x?{B??x?B}是点x的一个邻域基．
定理2.1.4 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理． 证明:设X是一个满足第二可数性公理的空间,
?是它的一个可数基,对于每
一个x∈X,根据引理2.1.3?x?{B??x?B}是点x处的一个邻域基,它是?的一个子族所以是可数族,于是X在点x处有可数邻域基?x．
定理2.1.4的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数公理,由于离散空间的每一个单点子集都是开集,而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并,因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集.所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间． ⅲ A1、A2拓扑性质
定理2.1.1 满足第二可数性公理的空间任何一个子空间是满足第二可数性公理的空间．
证：设X是一个满足第二可数性公理的空间，?是它的一个可数基．如果Y是X的一个子集，y∈Y，对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U＝V∩Y；存在?的一个子族?1使得V??B．因此U??(B?Y).
B??B??11由于上式中的每一个B∩Y是?︱Y中的一个元素，所以在上式中U已经表示成了?︱Y中的某些元素之并了，因此?︱Y是Y的一个基，它明显是一个可数族． 定理2.1.6 满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间是满足满足
第一可数性公理的空间．
证明: 设x是一个满足第一可数性公理的空间, Y?X为X的一个子空间,y为Y中任一点即y∈Y.由于X是满足第一可数性公理的空间,故y处有可数邻域基?如果U是y在Y中的一个邻域,则存在y在X中的一个邻域V,使得U=V∩Y,于是存在V1∈?y使得V1?V.从而V1∩Y是y在Y 中的一个邻域,并且V1∩Y? V∩Y=U.其中V1∩Y∈?yY,所以?yY是y在Y中的一个邻域基.明显
?yY是一个可数族．
定理2.1.2 设X1,X2,?,Xn是n个满足第二可数性公理的空间，则积空间
X1?X2???Xn满足第二可数性公理．
证：假设已知拓扑空间的某一个性质P是一个拓扑不变性质．为了证明性质P是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质P的拓扑空间的积空间也是具有性质P的拓扑空间．所以我们只要对于n＝2的情形加以证明．设
X1和X2都满足第二可数性公理的空间，?1和?2分别它们可数基，?1、?2分
别为X1、X2的拓扑，令?如记积拓扑的定义中的积拓扑的那个基，为了证明
~??{B1?B2Bi??i,i?1,2}是积空间X1?X2的一个基，只需证明?中的每一
~个元素均可以表示为?中的某些元素的并，为证此设U1?U2∈?，其中U于是U1?U2＝（Ui??Bi??iBi．
i∈
?i（i＝1，2）．由于?i是?i的一个基，故对于每一个i，存在?i??i，使得
~~中?=｛B1?B2Bi∈?i, i=1,2｝??．所以集族?=｛B1?B2Bi∈?i, i=1,2｝
是积空间X1?X2一个基,它明显是一个可数族.
定理2.1.5设X1,X2,?,Xn是n个满足第一可数性公理的空间，则积空间
X1?X2???Xn也满足第一可数性公理．
B1??i?B1）×(
B2??2?B2)=
1B1??1,B2??2?B?B2=
B1?B2???B1?B2其
证明:我们只要证明n＝2的情形.设x=（X1,X2）是积空间X=X1?X2的任意给定的一个点,因为X1,X2满足第一可数性公理,所以X1,X2处有可数邻域基
~?x1,?x2,因此??{B1?B2Bxi??xi,i?1,2}是x=（X1,X2）处的邻域基,由于
~?x1,?x2可数,因此?也可数.因此X= X1?X2满足第一可数性公理．
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续开映射,如果
X满足第二可数性公理,则Y也满足第二可数性公理. 证明:设X满足第二可数性公理,
?是它的一个可数基,由于f是一个开映射,
~~??{f(B)B??}是Y中开集构成的一个可数族.只需证明?是Y的一个基.设U是Y中的一个开集,则ff?1?1(U)是X中的一个开集.因此存在?1??使得
~(U)=?B??1B.由于f是一个满射.我们有U=f(f?1(U))??B??1f(B)即U是B~中某些元素的并,所以B是Y的一个基.
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续开映射,如果X满足第一可数性公理,则Y也满足第一可数性公理.
证明:设X满足第一可数性公理,任意的x∈X.故x有可数领域基?,由于f是
~~一个开映射, ??{f(B)B??}是Y中开集构成的一个可数族.下面证明?是Y的
一个领域基.设U是Y中的一个领域,则f?1(U)是X中的一个领域因为X满足第
?1一可数性公理,所以存在拓扑空间中的一个开集ff?1(V)使得x∈
(V)?1?f?1(U).因为f是一个满的连续开映射.所以有
?1f(f(U))?f(f(V))?~f(B),所以?为Y的一个领域基.
从以上几个定理我们可以看出拓扑空间满足第一可数性公理的空间或第二可数性公理的性质是可遗传的,是有限可积的,也是拓扑不变性质． ⅳ A1空间的一些其它性质
定理2.1.7 设X和Y是两个拓扑空间,其中X满足第一可数性公理, x∈X,则映射f:X→Y在点x∈X处连续的充分必要条件是:如果X中的序列｛x1｝收敛于x,则Y中的序列｛f(x1)｝收敛于f(x1).
证明:必要性 设f在点x处连续,｛x1｝i?Z? 是X中的一个收敛于x1的序列.如果U是f(x)的一个邻域,则f＞M时有x1∈f?1?1(U)是X的一个邻域,这时存在M∈Z+使得i(U),从而f(x1)∈U.
?1 充分性 假设映射f不连续,即f(x)有一个领域V,使得f(V) 不是
x的领域,则x的任何一个领域U都不能包含在中,即对于x的任何一个领域U,包
含关系U= f?1(V)不成立.也就是说f(U) ∩V'≠?,由以上知, f(x)有一个领
域V使得对于x的任何一个领域U有f(U)∩V'≠?.设{ui}i?Z?是点x处的一个可数领域基,满足条件:对于每一个i∈Z+,Ui?Ui?1选取xi?Ui使得f(xi)∈f(U)∩
V'即f(xi)?V．明显的,序列｛xi｝收敛于x,然而序列｛f(xi)｝在f(x)的领域
V中却没有任何一个点,所以不收敛于f(x),这与反证假设矛盾.因此反证假设不成立,所以映射f在点x处连续.
定理2.1.8 设X和Y是两个拓扑空间,其中X满足第一可数性公理,则映射｛xi｝收敛于x∈f:X→Y是一个连续映射的充分必要条件是:如果X中的序列
X,则Y中的序列｛f(xi)｝收敛于f(x).
证明:只需证明映射f连续当且仅当对于每一点x∈X,映射f在点x处连续. 充分性 设对于每一点x∈X, 映射f在点x处连续.如果U?Y是一个开集,则对于每一点x∈f一点x∈f?1?1(U).集合U是f(x) ∈U的一个领域.因此对于每
?1(U),f?1(U)是x的一个领域,因而f(U)是一个开集,所以f连续.
必要性 设映射f连续, x∈X.如果U是f(x)的一个领域,则存在开集V使得f(x)∈V?U,于是x∈ff?1?1(V)?f?1(U),其中f?1(V)是一个开集,从而
(U)是x的一个邻域,这证明f在点x处连续.
2.2 Lindeloff空间
ⅰ 定义
定义2.2.1 设X是一个Lindeloff空间，如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间. ⅱ A1、A2与Lindeloff空间的关系
定理2.2.1(Lindeloff定理) 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间.
证明:设??{V?}??A是空间X的任意一开覆盖,?是X的可数基,因为每一个
V?(??A)是某些U∈?的并,所以存在?的子族??(????)覆盖X,对每一个U∈
??,选取V?使U?V?,这样得到的子覆盖???{V?V??U,U???}是可数的.证完.
注:第一可数空间与Lindeloff空间互不蕴涵.
① 一个第一可数空间,它不是一个Lindeloff空间.
设X为一个不可数集,在X上取离散拓扑,则X是第一可数空间,但它不是
Lindeloff空间.
② 一个Lindeloff空间,它不是第一可数空间.
设X为一个不可数集,在X上取有限补拓扑,即X的非空开集为X\\C,其中C为有限集.显然X是Lindeloff空间,然而, X不是第一可数空间.事实上,假如在点x∈
X存在可数的拓扑基,则必有含有点x的可数的开集族?x,使x的每个开领域包含某个B∈?x,因此
B??x?B?{x},从而得到X\\{x}=x\\?B??B??x(X\\B).因为每个
B??xX\\B为有限集,故X\\{x}为一个至多可数集,这与X为一个不可数集的条件发生矛盾.因此可知X不是第一可数空间.
ⅲ Lindeloff拓扑性质
令X=[0,1],以[0,1]及所有单点集{x}(x≠0)为领域基生成X上的一个拓扑.因X的任一开覆盖必含有[0,1],故X为一个Lindeloff空间,但子空间(0,1]为不可数的离散空间,故它不是Lindeloff空间.
注：包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间.这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.
从上面例子我们可以看出Lindeloff空间性质是不可遗传的,但它对于闭子空间却是可遗传的,下面我们证明:
定理2.2.2 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间.
证明:设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间, ?是子空间Y的一个开覆盖则对于每一个A??存在X中的一个开集UA使得,UA?Y?A,
于是{UAA??}?{Y?}是X的一个开覆盖,它有一个可数子覆盖,设为
{UA1,UA2,?}?{Y?}.这时易见,{A1,A2,?其中Ai??Ai?Y,i?Z?},便是?的一个
关于可数子空间Y的可数子覆盖.
推论2.2.3 ⑴Lindeloff空间的有限闭子空间的并为Lindeloff空间; ⑵Lindeloff空间的任意闭子空间的交为Lindeloff空间.
证明:⑴设yi(i?1,2,?n)为Lindeloff空间的闭子空间,则yi为Lindeloff空间,
?yi?1ni仍是Lindeloff闭子空间.由定理2.2.2得?yi也是Lindeloff空间
i?1n⑵设yi(i?1,2,?n)为Lindeloff空间的闭子空间,则yi为Lindeloff空间,
??yi?1?i是闭集,因此,
?yi?1i仍为Lindeloff空间
注: Lindeloff空间不是有限可集的.
设X是实数集?是所有半开区间?a,b??{xa?x?b}的族?为领域基的X上的拓扑.设{U?}是拓扑空间X的任意一个开覆盖,于是,对每一个有理数r?X,存在Ur?{U?},使得r?Ur,根据X上的拓扑?的定义,当r走遍有理数集时,相应的Ur所组成的可数族就覆盖了拓扑空间X.故X是Lindeloff空间
令Y=X×X,对每一点p=(x,y) ∈Y,点p的领域集为{s(p,?)},其中
s(p,?)是左下角为点p并以?＞0为边的半开正方形.令L={(x, y)︱y=-x},
则L是Y的闭子集.为证Y不是Lindeloff空间,我们只要证明Y的闭子空间L不是Lindeloff空间即可,但这是显然的,因为集族?s(p,?)是L的一个开覆盖,而它没
p?L有可数的子覆盖.所以Y不是Lindeloff空间.
定理2.2.4 X是Lindeloff空间, f:x→y是一个连续映射,则f(x)也是Lindeloff空间.
证明:设?是y的任意一个开覆盖,则A?{f?1(B)B??}是Lindeloff空间X的开覆盖,因它有可数子覆盖,即?的可数子族??使得A??{f?1(B)B???}覆盖X,故??是?的可数子覆盖,所以y也是Lindeloff空间.
推论2.2.5 X1?X2是Lindeloff空间,则X1,X2也是Lindeloff空间.
证明:定义映射Pi: X1?X2→Xi（i=1，2），显然它是一个连续映射,又因为
X1?X2是Lindeloff空间,由定理2.2.4得X1和X2也是Lindeloff空间.
2.3 可分空间
ⅰ 可分空间的相关定义
定义2.3.1 设X是一个拓扑空间，D?X，如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即D=X，则称D是X的一个稠密子集.
定义2.3.2 设X是一个拓扑空间,如果X中有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.
ⅱ A2与可分空间的关系
定理 2.3.1 满足第二可数性公理的空间都是可分空间.
证明: 设?是空间X的可数基,对于每一个U∈?,任取点x∈U,则集
A?{xx?U,U??}是可数集.下证集A稠密于空间X,X?A是一个开集,不能包含基?中的任何非空元素,故是空集.
在前面我们知道,包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.同样包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分空间的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.
注: 可分空间与Lindeloff空间互不蕴涵.
⑴ 设X为一不可数集,并在X上取可数补拓扑,则X为一不可分的拓扑空间,
由于X的任一非空开集的补集是可数的,因而X是Lindeloff空间.
⑵设X为一不可数集,a∈X,我们规定X的开集为空集?以及含有点a的任意
子集.由于单点集{a}在X中稠密.故X是可分的,然而, X显然不是Lindeloff空间.
ⅲ 可分空间的拓扑性质
由于第二可数性公理是一个可遗传的性质,因此根据定理2.3.1我们可以得到以下推论:
推论2.3.2 满足第二可数性公理的空间的子空间都是可分空间. 定理2.3.3 可分空间的有限积空间仍为可分空间
证明: 因为Xi(i?1,2,?,n)是可分空间,存在Di?Xi,使得Di?Xi,并且Di是可数集.则
D?D1?D2???Dn?X1?X2??Xn.又因为
D?D1?D2???Dn?X1?X2??Xn.,而D又是一个可数集,所以积空间
X1?X2??Xn是一个可分空间.
定理2.3.4 可分空间的开子空间是可分空间
证明: 设Y为X的一个开子空间, D为Y的一个子集即D?Y,则D?X．因
~为X为一个可分空间,所以X中存在一个可数的稠密子集D,使得~~D?D?Y则有D?Y.因为D是可数集,则D也是可数的,所以Y是一个可分空间.
注: 存在某个可分空间的闭子空间,它不是可分的
例如,设X为一个不可数集,p∈X,令X的开集为空集?以及含有点p的任意子集.易见单点集{p}在X中稠密.因此, X是可分的,又, X\\{p}是X的闭子空间.因X不可数,故X\\{p}不可分.
例:设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个连续映射,证明如果X是一个可分空间,则f(x)也是可分的.
证明: X是一个可分空间,则存在D?X,使得D?X且D是可数集,则
f?1(D)?X,f?1?1(D)?f(X).因为f:X→Y是一个连续映射,所以
?1f(f(D))?f(X),f(f(D))?f(f(X))即f(D)?f(X),f(D)?f(X)所以
f(D)是f(x)的一个稠密子集.又因为f是连续的, D是可数集,所以f(D)也
是一个可数集.
ⅳ 可分空间的一些其它其它性质
定理: 设X是离散空间,X是Lindeloff空间 ?X含可数多个点?X是可分空间.
证明:离散空间X的每个子集是开集,所以若X含有可数多个点则X一定是Lindeloff空间.反之,若X是Lindeloff空间,则所有单点集构成的X的开覆盖有可数子覆盖,所以X含有可数多个点.
若X含有可数多个点, X显然是可分空间.反之,若X是可分空间,则X的一个可数子集的闭集是X,因为离散空间任何子集的闭集时其本身,即X的一个可数子集是X,所以X含可数多个点.
定理2.3.5 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理
证明: 设(X,d)是一个可分的度量空间. D是X中的一个可数稠密子集.
1令??{B(x,)x?D,n?Z?},易见?是由X中的开集构成的一个可数族.设yn1∈X,U是y的一个领域,则存在k?Z?,使得B(y,)?U.由于D是X中的
k11一个稠密子集,所以B(y,)?D? ?,任意选取~y?B(y,)?D,如果
2k2k111,于是d(x,y)?d(x,~即x?B(~y,),则有d(x,~y)?y)?d(~y,y)?2k2kk111y?D,所以x?B(y,).因此,我们可以得到:B(~y,)?B(y,)?U.由于~k2kk1B(~y,)??.综合以上所说,我们证明了:对于任何y∈X和y的任何一个领
2k11y,)??使得y?B(~y,)?U所以?是X的一个基. 域U,存在某一个B(~2k2k根据定理2.3.5及推论2.3.2可得到下面推论:
推论2.3.6 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.
第3章 分离性公理
3.1 T0, T1, T2空间
ⅰ 定义
定义3.1.1(T0分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2 ,存在其中一点的领域不包含另外一点(例如x1的领域U(x1)使x2?U(x1)).以上叙述称为T0 分离公理,满足T0 分离公理的拓扑空间称为T0 空间.
定义3.1.2(T1分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1)使x2?U(x1),点x2的领域U(x2)使x1?U(x2).以上叙述称为T1分离公理,满足T1分离公理的拓扑空间称为T1空间.
定义3.1.3(T2分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1),点x2的领域U(x2),使U(x1)?U(x2)= ?,以上叙述称为T2分离公理或Hausdorff公理,满足公理的空间称为T2空间或Hausdorff空间 ⅱ T0, T1, T2相互蕴涵关系
我们由T0、T1空间的定义知道T1空间当然是T0空间，但反之不然，例如：设X={a,b,c},规定X的开集为?,{a},{a,b},{a,c}和X,则X为一个拓扑空间.易见,
X是T0空间.因为对于点a,c而言,含点c的开集必含点a,所以X不是T1空间．
同样有定义可知T2空间一定是T1空间，反之不然，例如：设X是一个包含着无限多各点的有限补空间,由于X中的每一个有限子集都是闭集,所以它是一个T1空间.然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交,这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集,而X又是一个无限集的缘故.由此可见X必然不是一个T2空间．
ⅲ 拓扑性质
定理: T1空间的每一个子空间都是T1空间
证明：设X是一个T1空间，Y是X的一个子空间.对于任意的x、y?Y,x?y,
因为Y是X的一个子空间,所以x、y?X.由于X是T1空间,所以在X中有x的开
~~~领域U使得y?U.令U?U?Y,则y?U,则U是x在Y的一个开领域.所以Y也是一个T1空间.
定理: T2空间的每一个子空间都是T2空间
证明: 设X是一个T2空间, Y是X的一个子空间.设x、y?Y,x≠y.首先在X中有x的开集A且A?Y?A1则y?A1,同理有y的开集B,使得x?B且
~B?Y?B1则x?B1.由于X是一个正则空间,所以A1、B分别在X中有开领域U~~~~~和V,使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y,它们分别是x、y在子空间Y中的开领域,显然U∩V=?.
定理:X1?X2??Xn是Hausdorff空间当且仅当每个拓扑空间
Xi{i?1,2,?,n}是Hausdorff空间.
??X1证明:我们只需证明n=2的情形.设X1?X2是Hausdorff空间,对于x1,x1?,x2)为X1?X2的不同点,有不相交领为不同的两点.任取x2?X2,则(x1,x2),(x1??U2?.容易看出,U1,U1?是x1,x1?在X1中的不相交领域,即X1是域U1?U2,U1Hausdorff空间.同理X2也是Hausdorff空间.
?,x2?)为X1?X2的两个不同点,反之,设X1,X2都是Hausdorff空间.(x1,x2),(x1?,使x1∈U1, ?,因为X1是Hausdorff空间,则有X1的不相交开集U1和U1不妨设x1≠x1?,x2?)的不相交领域,所以X1×X2是?∈U1?,因此U1?X2,U2?X2是(x1,x2) ,(x1x1Hausdorff空间.
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续映射,如果X是T2空间,则Y也是一个T2空间.
证明:设x,y∈Y,x≠y, U、V分别是点x、y处的一个开领域.因为f:X→Y是一个满的连续的映射,所以在拓扑空间X中有,f?1(x)和f?1(y)分别有开
领域f?1(U), f?1(V),又因为X是T2空间,所以有f?1?1(U)∩f?1(V)=?.因f是满
的连续映射,所以f(f空间.
(U))?f(f?1(V)) = ?即U∩V=?. 所以Y也是一个T2我们从这个定理可以看出T2空间是一个拓扑不变的性质.与以上证法相似我们也容易证明T0空间和T1空间也是一个拓扑不变性质的. 定理3.1.3 T2空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点
证明: 设{xi}是T2空间中的一个序列,并且有limxi?y1和limxi?y2其中
i??i??y1?y2于是对于j=1,2,点yj有一个开领域Vj,使得V1?V2=?.故存在Nj＞0使
得当i?Nj时有xi?Vj.任意选取M?max{N1,N2}.可见xM?V1?V2,故V1?V2非空,这是一个矛盾.
定理3.1.1 下列论断等价: ⑴X是T0空间;
⑵ 对X的不同两点X1,X2 ,或者x1?{x2},或者x2?{x1}; ⑶ 对X的不同两点X1,X2具有不同的闭包{x1},{x2}.
证明: ⑴?⑵ 设x1?{x2}及x2?{x1}同时成立,则x1的任何领域包含x1 ,不满足⑴.
⑵?⑴ 设x1?{x2},则存在x1 的领域U(x1)使x2?{x1} ⑵?⑶ 显然
⑶?⑵ 设x1?{x2},x2?{x1}同时成立,亦即{x1}?{x2},{x2}?{x1},从而有
{x1}?{x2}?{x2}，同理{x2}?{x1},故有{x1}?{x2},不满足(3).
定理3.1.2 设X是一个拓扑空间,则以下条件等价: ⑴X是一个T1空间;
⑵X中每一个单点集都是闭集; ⑶X中每一个有限子集都是闭集.
证明: ⑴?⑵ 设x?X,当X是一个T1空间时,对于任何y∈X,y≠x,点y有一个领域U使得x?U,即U∩{x}=?,因此y?{x},从而{x}?{x}.这证明
单点集{x}是一个闭集.
⑵?⑶ 设{x1,x2,?,xn}是X的一个有限子集.当⑵成立时,我们有,
{x1,x2,?,xn}?{x1}?{x2}???{xn}?x1?x2???xn?{x1,x2,?,xn}即{x1,x2,?,xn}是一个闭集.
?{x1}?{x2}???{xn}⑶?⑴ 设x,y∈X,x≠y,当⑶成立时,单点集{x}和{y}都是闭集.从而{x}?和{y}?分别是y和x的开领域,前者不包含x,后者不包含y,这就证明了X是一个T1空间.
3.2 正则、正规、T3、T4空间
ⅰ 相关定义
定义3.2.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域,它们互补相交(即如果x∈X和A?X是一个闭集,使得x?A,则存在x的一个开领域U和A的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正则空间.
定义3.2.2 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开领域并且这两个开领域互不相交(即如果A、B?X都是闭集,则存在A的一个开领域U和B的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正规空间.
定义3.2.3 正则的T1 空间称为T3空间,正规的T1 空间称为T4空间. ⅱ 正则、正规、T3、T4空间关系
我们由拓扑空间的定义可知T4空间是T3空间，但拓扑空间的正则性和正规性之间没有必然的蕴涵关系.如X={1,2,3}取?={?,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}则
(X,?)是正规空间而非正则空间.但是我们不可能找到一个如此简单的正则而非
正规的空间.
定理 :设X是有限集,若(X,?)是正则空间,那么(X,?)是正规空间. 证明:设A,B是(X,?)的两个不相交的闭集,因为X有限,所以可以设
A?{a1,a2,?,an},因为(X,?)是正则空间,所以对ai(i?1,2,?,n)和B,有开集Ui、
Vi ,使ai∈Ui、Bi?Vi ,且Ui∩Vi=?.令U?U1?U2???Un，
V?V1?V2???Vn,则U、V为开集,A?U,B?V且
U?V?(U1?U2???Un)?(V1?V2???Vn) =[U1?(V1?V2???Vn)]∪…
∪[Un?(V1?V2???Vn)]? (U1?V1)???(Un?Vn)= ?,所以(X,?)为正规空间.
ⅲ 拓扑性质
定理 正则空间的每一个子空间都是正则空间
证明:设X是一个正则空间,Y是X的一个子空间.设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y?B,首先,在
X~~中有一个闭集B使得B∩Y=B.因此y?B.由于X~~是一个正则空间,所以y和B分别在X中有开领域(对于拓扑空间X而言)U和
~~~~~V使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y.它们分别是y和B在子空间Y中开领域,显然U∩V=?.
定理 正规空间的每一个闭子空间都是正规空间
证明:设Y是正规空间X的一个闭子空间. A,B是子空间的闭集,则对于A、
~~~~~B也为X中的闭集,所以存在X中的一个开领域U、V,使得U∩V=?,令U=U~∩Y, V=V∩Y则U∩V=?所以Y是一个正规空间.
定理 T4空间的每一个闭子空间都是T4空间
证明: 设Y是T4空间的一个闭子空间,m、n是闭子空间Y中的任意点,其中
~m≠n,因为Y是T4空间的一个闭子空间,所以m对于T4空间有开领域U,使得~~n?U.令U?U?Y,则n?U,所以Y是T1空间.下证Y为正规空间: A、B是子空~间Y的闭集.因为A、B也为T4空间中的闭集,所以存在T4空间的一个开领域UA、
~~~~~VB使得UA∩VB= ?令UA=UA∩Y, VB=VB∩Y,它们分别是A、B在闭子空间
Y中的开领域,则UA∩VB = ?,所以Y为正规的.
定理 设X1,X2,?,Xn是n?1个正则空间,则积空间X1?X2???Xn也是正则空间.
证明: 我们只需证明n?2的情形.设x?(x1,x2)?X1?X2,集合U是x在
X1?X2中的一个开领域,则有x1在X1中的一个开领域U1和x2在X2中的一个开领域U2,使得U1×U2?U.由于X1和X2都是正则空间.故x1在X1中有一个开领域V1使V1??U1, x2在X2中有一个开领域V2使得V2??U2,于是V1×V2是x在
X1?X2中的一个开领域,并且V1?V2?V1??V2??U1?U2?U.这就证明了是一个正则空间.
这个定理说明正则空间具有有限可积性质.我们也容易证明T0,T1空间也具有有限可积性质.
定理： 设X和Y是两个拓扑空间,f：X→Y是满的连续映射，如果X是一个正则空间，则Y也是一个正则空间．
证明：设y?Y,闭集A?Y且y?A.因为f是一个满的连续映射,则在X中有
f?1(y)?X,f?1(A)?X.因为X是一个正则空间,所以在X中存在f?1(y)和
f?1~~~~(A)的开领域U和V,使得U∩V=?．因为f是一个满的连续映射,所以在Y中存在y、A的开领域U、V,使得U∩V= ?,所以Y也是一个正则空间．
定理： 设X和Y是两个拓扑空间, f：X→Y是满的连续映射,如果X是一个正规空间，则Y也是一个正规空间．
证明：A、由于f是一个连续映射则fB是Y中的两个闭集，是X中的两个闭集.由于X是一个正规空间,则f?1?1(A)和f?1(B)(A)和f?1(B)分别存在一个开
~~~~领域U和V.使得U∩V=?,由于f是满的连续映射,则在Y中存在A、B的开领域U、V使得U∩V=?,所以Y也是一个正规空间．
ⅳ 正则、正规、T3、T4空间其它性质
定理3.2.1 设X是一个拓扑空间,则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开领域U,存在x的一个开领域V使得V?U.
证明： 必要性 设X是一个正则空间，如果x∈X,集合U是x的一个开
领域,则U的补集U?便是一个不包含点x的闭集.于是x和U?分别有开领域U1和
?V1使得U1∩V1=?.从而U1?V1?,所以U1?V1??V1??U即U1??U.
充分性 设x∈X和A是一个不包含x的闭集.这时A的补集A?是
x的一个开领域,根据定理中所陈述的条件可见,有x的开领域U使得U?A?.令
?
V=U?,则有A?U.所以V是A的一个开领域,并且易见U∩V=?,这证明X是一个正则空间.
引理3.2.2 拓扑空间X为正则空间,当且仅当对X中的任一点x以及不含点x的任一闭集B, x、B分别有开领域U、V,使得C(U)∩C(V)=?.
定理3.2.3 拓扑空间X为正则空间,当且仅当对X中的任一点x以及X中不含点x的任一闭集B, x、B分别有闭领域U、V,使得U∩V=?.
证明: 必要性 设X为正则空间,由引理3.2.2的必要性知,对X中任一点xV1，以及X中不含x的任一闭集B, x、B分别有开领域U1、使得C(U1)∩C(V1)=
?,令U= C(U1),V= C(V1)则U、V分别为x、B的闭领域,且U∩V=?.
充分性 设X的任一x以及不含x的任一闭集B, x、B分别有闭领域
U、V,使得U∩V=?,于是x∈i(U)?U,B?i(V)?V,故C(U1)∩C(V1)= ?,根据引理3.2.2的充分性可知X为正则空间.
定理3.2.4 设X是拓扑空间,则下列命题等价: ⑴ X为正规空间;
⑵ 对于X中的任意闭集A和每个包含A的开集U,存在开集V使得
A?V?V?U;
⑶ 对于X中的任意两个互不相交的闭集A、B,存在开集U,使得A?U及U∩B=?;
⑷ 对于X中的任意两个互不相交的闭集A、B,存在开集U,使得
A?U,B?V且U∩V=?.
证明: ⑴?⑵ 由已知X为正规空间, A为闭集, U为开集且A?U,则
X-U为闭集且(X-U)∩A=?.由定义在X中的开集V、V1,使得A?V,
X-U?V1,且V∩V1= ?,从而有V? X -V1及X-V1?U.因为X-V1为闭集,则V?X-V1?U,从而A?V?V?U.
⑵?⑶ 已知A、B为X中的任意两个互不相交的闭集,因此X-B为开集且A?X-B,由⑵则存在开集U,使得A?U?U?X－B,从而U∩B=?. ⑶?⑷ 已知A、B为X中的任意两个互不相交的闭集,由⑶知存在开集U,使得A?U及U∩B=?,从而U与B为X的两个互不相交的闭集,再由⑶知存在开集V,使得B?V及U∩V=?.
⑷?⑴ 显然成立.
定理: Lindeloff正则空间是正规的
证明: 设F、H为X的不相交闭集.对于F的各点x取其开领域U(x)使得
U(x)∩H=?.同样地对于H的各点y,取其开领域 V(y)使V(y)∩F=?.因为
F是Lindeliff的,故有F?U{U(xi)i?N}.同样地,有H?U{V(yi)i?N}.若令
U?U(x1)?(?(U(xi)??V(yi))), V??(V(yi)??U(xj)),则它们是开的且
i?2j?ii?1j?i??F?U,H?V.为了说明U∩V=?.设有点z∈U∩V.取i使得z∈
U(xj)?V(y1)???U(xi).因z∈U故有i?j存在,使
z?U(xj)?V(y1)???V(yi)???V(yj?1).故z?V(yi)发生矛盾.
由于T1空间中每一个单点集都是闭集,因此T4空间一定是T3空间, T3空间一定是Hausdorff空间.
定理3.2.5 对于拓扑空间X下述性质是等价的:
⑴ X满足T3空间
⑵ 若x∈U,且U为开的,则存在开集V使x∈V?V?U.
证明: ⑴?⑵ 因x?X?U,而X－U是闭集,故有开集V、W,使x∈V,
X－U?W,V∩W=?.由V?X－W?U, 有V?X?W?X?W?U.
⑵?⑴ 令x?F且F?F,则x?X?F且X?F是开集,故有开集V,使x∈
V?V?X－F.令U?X?V,则U是开的, V∩U=?且F?U.
在此证明中,若将点换成闭集,则得到结果如下: 定理3.2.6 对于拓扑空间X下述性质是等价的: ⑴X满足T4;
⑵ 若F?U, F是闭的, U是开的,则有开集V存在,使得F?V?V?U. 最后,我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些公理(指T0至
T4,以及正则正规空间等),为此,我们只要证明: 定理3.2.7 每一个度量空间都是T4空间
证明: 设(X,d)是一个度量空间,如果x、y∈X, x≠y,则d(x,y)?0,令
????d(x,y),于是球形领域B(x,)和B(y,)分别是x和y的开领域,并且易见它
22们无交,因此X是一个Hansdorff空间,自然它们也是T1空间.
现在设A和B是X中的两个无交闭集,假如A和B中有一个是空集,例如B= ?,这时我们可以取X为A的开领域. ?为B的开领域,它们的交当然是空集.以下假定A和B都不是空集.对于x,y∈X.如果x?B,则d(x,B)＞0,如果y?A,则
11d(y,A)＞0,记?(x)?d(x,B), ?(x)?d(x,A),并且令U??B(x,?(x))，
22x?AV??B(y,?(y))显然U和V分别是A和B的开领域.以下证明U∩V=?.若不然,
y?BU∩V≠?.设Z∈U∩V.由于Z∈U,所以存在x1∈A,使得d(Z,x1)＜?(x1),由于Z∈V,所以存在y1∈B,使得d(Z,y1)＜?(y1),不失一般性,设?(x1)??(y1).于是我们有:d(x1,y1)?d(x1,Z)?d(Z,y1)＜ 2?(x1)?d(x1,B)这与d(x1,B)的定义(d(x1,B)=inf{d(x1,y)∣y∈B})矛盾.这就证明了X是一个正规空间.
3.3完全正规、完全正则空间
ⅰ 相关定义
定义3.3.1 如果拓扑空间X的每一个子空间都是正规的,则称X为一个完全正规空间. 完全正规的T1空间叫做T5空间.
定义 3.3.2 拓扑空间X的集合A、B是隔离的,如果A?B?A?B=?. 定义3.3.3 设X是一个拓扑空间.如果对于任意x∈X和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射f：X→[0,1]使得f(x)=0以及对于任何y∈B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.
ⅱ 完全正规、完全正则空间的性质
定理：完全正规的每个子空间是完全正规空间
证明: 设(X,?)是完全正规空间. Y?X,A和B是Y的两个隔离子集,则A和B也是X的两个隔离子集.因为X是完全正规空间,所以存在U、V??使
~~A?U,B?V且U∩V=?,则U=U∩Y, V=V∩Y是Y的两个开集,且A?U~~~~∩Y=U,B?V∩Y=V且U∩V=(U∩Y) ∩(V∩U)=(U∩V) ∩Y?U∩
V=?,所以Y是完全正规空间.
定理 完全正则的每一个子空间都是完全正则空间
证明: 设(X,?)是一个完全正则空间,Y?X,设y?Y,B是Y的一个闭集,y?B,则y?X,且存在X的闭集A使B?A?Y.因为y?Y,y?B,所以
y?A.在(X,?)中考虑y和闭集A.因为(X,?)是完全正则空间,所以存在连续
映射f:X→[0,1]使f(y)?0,对任何x∈A,f(x)?1.因为f:X→[0,1]连续,所以fY:Y?[0,1]连续,且fY(y)?f(y)?0.对每一个x?B也有x∈A,所以
fY(x)?f(x)?1,(X,?Y)是完全正则空间.
引理3.3.6 设X=X1?X2???Xn是n?1个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间,又设Y也是一个拓扑空间,则映射f：Y→X连续当且仅当对于每一个
i?1,2,?,n,复合映射pi?f:Y→Xi连续,其中, pi:X?Xi是积空间X对于第i个坐标空间Xi的投射.
引理3.3.7 设映射m：[0,1]2→[0,1]定义为：对于任意t?(t1,t2)∈[0,1]2,
m(t)?max{t1,t2}则m是一个连续映射.
证明：对于每一个a?(0,1],m?1([0.a))?[0,1)2 中的一个开集;而对于每一个b∈
[0,1),
m?1([0,b])?[0,b]2中的一个闭集,因
此,m?1([b,1])?m?1([0,1]?[0,b])=[0,1]2?m?1([0,b])是[0,1]2中的一个开集.由于集族??{[0,a)a?(0,1]}?{(b,1]b?[0,1)}是[0,1]的一个子基.可见m是一个连续映射.
定理3.3.8 设X1,X2,?,Xn是n?1个完全正则空间．则积空间
X1?X2???Xn也是完全正则空间.
证明: 我们只需证明n=2的情形. 设x=(x1,x2)∈X1?X2和B是X1?X2中的一个不包含x的闭集.则存在x1在X1中的一个开领域U1和x2在X2中的一个开领域U2使得x=(x1,x2)∈U1×U2?X1×X2 –B 由于X1和X2都是完全正则
空间,所以对于任何i=1,2,有连续映射fi:Xi?[0,1]2使得对于任意y=(y1,y2)∈
pi (其中~pi是X1?X2,f1?f2((y1,y2))?(f1(y1),f2(y2))由于pi?(f1?f2)?fi?~X1?X2的第i个投射,pi是[0,1]2的第i个投射).因此pi?(f1?f2)连续.根据引理3.3.6可见f1?f2是一个连续映射.令f?m?(f1?f2):X1?X2?[0,1],其中映射
m: [0,1]2 →[0,1]的定义见于引理3.3.7中,由于它是两个连续映射的复合,所
以连续.此外,我们有:f(x)?m?(f1?f2)(x)?max{f(x1),f(x2)}?0并且如果
y=(y1,y2)∈X1?X2－U1×U2,则或者y1?U1或者y2?U2,因而或者f1(y1)?1或者f2(y2)?1,从而此时有:f(y)?m?(f1?f2)(y)?max{f(y1),f(y2)}?1.由于
B?X1?X2?U1?U2,故对于每一个y?B有f(y)?1.所以积空间X1?X2是一
个完全正则空间.
定理 设X和Y是两个同胚的拓扑空间,如果X是一个完全正则空间,则Y也是一个完全正则空间.
证明: 设h:X?Y是一个同胚.对于Y中的任意一个点x和任意一个不包含点x的闭集B.h?1(x)和h?1(B)分别是X中的一个点和一个不包含点h?1(x)的闭集.由于X是一个完全正则空间,故存在一个连续映射f:X→[0,1]使得
f(h?1(x))?0和对于任何y?f?1(B)有f(y)?1.于是连续映射
g?f?h?1:Y?[0,1]满足条件:g(x)?0和对于任何Z?B有g(Z)?1.
ⅲ 完全正规、完全正则空间的其它性质 根据完全正规空间的定义,我们可以得到: 推论3.3.1 每个完全正规空间都是正规的.
根据定义3.2.3、定理3.2.7和定义3.3.1我们可以得到: 推论 3.3.2 每一个度量空间都是一个T5空间.
定理 3.3.3 拓扑空间X是完全正规的当且仅当对于X中任意一对隔离子集A与B,总存在开集U与V,使得A∩U,B∩V,U∩V=?.
证明: 必要性 设X是一个完全正规空间.令S=(A?B)?那么, S是空间X的开集,
S∩A与S∩B相对地闭于S中,并且
(S?A)?(S?B)?S?(A?B)=?. S作为X的子空间是正规的,则存在S的相
对开集U与V使得S?A?U, S?B?V,U∩V=?.因为S开于X中,而U与V又相对的开于S中,所以U与V是空间X的开集.又显然A?S∩A,因为,有
A?A;又A与B是隔离的,有A?S??A?(A?B)?A?B=?.由此可见, A?U.
同理B?V.
充分性 假定条件满足,令S为空间X的任意子空间,并令F1与F2是任意两个不相交的S的相对闭集.于是存在空间X的闭集F与G,使得F1=F∩S,
~F2=G∩S,因为F1?F,又F闭于X中,所以F1?F,又因为F∩F2=F∩(F2∩
S)= F2∩(F∩S)= F1∩F2= ?,所以F1?F2=?.同理F1?F2=?.因此, F1与F2是隔离的,条件既然满足,那就存在X的开集U1与U2使得F1?U1, F2U1∩U2= ?.因此, F1?S∩U1, F2??
U2,
S∩U2, (S∩U1)∩(S∩U2)=?.由此
可见,子空间S是正规的.因为S是X的任意子空间,所以拓扑空间X是完全正规空间.
推论3.3.4 拓扑空间X是完全正规的当且仅当对于X中任意隔离子集总存在它们的互不相交的领域.
定理3.3.5 每一个完全正则空间都是正则空间
证明: 设X是一个完全正则空间, x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,则存在连续映射f:X→[0,1]使得f(x)?0和对于任何b∈B有f(b)=1,于是
11f?1([0,))和f?1((,1])分别是点x和闭集B的开领域,并且它们无交这表明X是
22一个正则空间.
定理3.3.9 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.
证明:设X是一个既正则又正规的空间.设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集.由于X是一个正则空间,根据定理3.2.1,点x有一个开领域U使得
U?B?.令A=U则A和B是X中无交的两个闭集.由于X是一个正规空间,则存
在一个连续映射f：X→[0,1]使得对于任何y?A有f(y)?0和任何y?B有
f(y)?1.由于x∈A.故f(x)?1.这就证明了X是一个完全正则空间．
结论
文章中对于点集拓扑中关于可数性公理的相关理论的研究,我们可以得到一
下结论：
① A2空间分别蕴涵于A1空间、Lindeloff空间、可分空间中 ② A1空间、Lindeloff空间、可分空间互不蕴涵
③ A1空间、A2空间是具有可遗传性质的．Lindeloff空间和可分空间是不可遗传的，但Lindeloff空间对于闭子空间也是具有可遗传性质的．
④ A1空间、A2空间、可分空间都是有限可积性质的，而Lindeloff空间是不可积的．
⑤ A1空间、A2空间、Lindeloff空间、可分空间都是具有拓扑不变性质的． 对于点集拓扑中关于分离性公理的相关理论的研究，我们可以得到以下结论：
① T4空间一定是T3空间，T3空间一定是T2空间，T2空间一定是T1空间，T1空间一定是T0空间，T4空间一定是正规空间，T3空间一定是正则空间．
② T0、T1、T2、T3、正则空间是具有遗传性质的．正规空间、T4空间是不具有遗传性质的，但正规空间、T4空间对于闭子空间却是可遗传的．
③ T0、T1、T2、T3、正则空间是具有有限可积性质的．正规空间、T4空间是不具有有限可积性性质的．
④ T0、T1、T2、T3、T4、正则、正规空间具有拓扑不变性质．