频率分布表

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

（Ⅰ）写出a，b，x，y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．

(i)求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； (ii)求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

(19)（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=3x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣

??，）． 22（Ⅰ）若sinα=

1，求cos∠POQ； 3（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

(20)（本小题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点． （Ⅰ）求证：AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大小.

(21)（本小题满分12分）

已知圆C经过点A（1，3），B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C． （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N． (i)求实数k的取值范围； (ii)若OM?ON=12，求k的值．

(22)（本小题满分12分）

已知函数f（x）=（

1x

）. 32

2

（Ⅰ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n，m]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 一、 参考答案 选择题

(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C 二、填空题

(13)09 (14)26 (15)三、解答题

(17)解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE,

∴DB?72 (16)

93211AB,BE?BC?(AC?AB), 3222111AB?(AC?AB)?AB?AC. (5分) 3262∴DE?DB?BE?（Ⅱ）若AB=6，AC=4，A=60°， 则DE?=

2221111AB?2??ABAC?AC 36624111×62+×6×4×cos60°+×42=7， 36647，

∴|DE|?即线段DE的长为7． （10分） (18)解：（Ⅰ）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004． （4分） （Ⅱ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况. （6分） （ⅰ）设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，

则事件E包含AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）=

93?．（9分） 155（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，则事件F包含AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY,共7种情况． 所以P（F）=

(19)解：（Ⅰ）因为sin??7． （12分） 151??22，且??(?,),所以cos??． 3223??)?cos所以cos?POQ?cos(?3?3cos??sin?3sin??22?3. （5分） 6（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而Q(cos?,3cos?)， 所以SPOQ?11|cos?||3cos??sin?|?|3cos2??sin?cos?| 22?133113?|?cos2??sin2?|?|?sin(?2?)| 2222223?1331|?1|??． 2242因为??(???,),所以当???时，取等号，

221231?． (12分) 42?所以△OPQ面积的最大值为（20）解：（Ⅰ）记AC与BD的交点为O,连接OE,如图，

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE. ∵OE?平面BDE,AM?平面BDE,

∴AM∥平面BDE. （4分） （Ⅱ）在平面AFD中，过A作AS⊥DF于S,连接BS,如图，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A， ∴AB⊥平面ADF,

∴AS是BS在平面ADF上的射影,