（3）设bn?1?anbn，n?N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
题号 答案
1 D
2 B
3 D
4 D
5 C
6 C
7 B
8 B
9 D
10 B
二、填空题（每题4分，共20分） 11．
613n?1 12． ?2 13． [2,22] 2714．
2110,) 15． (1?2213三、解答题（共36分）
16．在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a?c)cosB （Ⅰ）求角B的大小；
?bcosC.
（Ⅱ）若b?4,求?ABC的面积的最大值．
（2）根据余弦定理b?a?c?2accosB,有16?a?c?ac
22 ?a?c?2ac（当且仅当a?c?2时取“=”号）
22222 ?16?a?c?ac?2ac?ac?ac, 即ac?16,??ABC的面积S?22
13acsinB?ac?43, 24 且当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为43.
17．已知直线y?2x是?ABC中?C的平分线所在的直线，若A，B的坐标分别是A(?4,2)，B(3,1)，求点C的坐标．
?y'?1?2??1??x'?3解：设点B关于直线y?2x的对称点为B'(x',y')，则有?，解得B'(?1,3)；所以
y'?1x'?3??2???2211lAB'：y?2?(x?4)；而点C为lAB'：y?2?(x?4)与直线y?2x的交点，解得C(2,4)。
33
18．如图，已知长方形ABCD中，AB?2,AD?1,M为DC的中点. 将?ADM沿AM折起，使得平面
ADM?平面ABCM.
（1）求证：AD?BM；
（2）点E是线段DB上的一动点，当二面角A?EM?D大小为
（1）证明：过点D做DO?AM于点O，因为AB?2,AD?1，M为DC的中点，所以AM?AD，所以O为AM中点。因为平面ADM?平面ABCM，所以DO?平面ABCM，所以DO?BM，又因为AM?BM?ABMDE?时，试求的值．
DB3DCDEMBCO A2，所以?ABM为等腰直角三角形，所以AM?BM，且AMDO=O，所以BM?平面ADM，所以AD?BM； AB?2，
（2）因为AD?BM，且AD?DM，所以AD?平面BMD，过点D做EM的垂线交EM于T，连接AT，则可知?DTA就是所求的平面角，所以?DTA=?3，所以易得DT=33， sin?DME=。又
33sin?MBD=
3，所以?DEM3?DMB，解得DE=3DE1?。 ，所以
3DB319．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?anbn，n?N*，
an2?bn2（1）求证：当n?2时，有an?2成立； 22????b??bnn（2）设bn?1?，n?N*，求证：数列????是等差数列；
aan???n???（3）设bn?1?anbn，n?N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
an2?bn2anbn2（1）证明：因为{an}和{bn}各项均为正数，所以anbn?，所以an?1?。 ?222an?bn2bnanbnbnan2?bn212b?（2）证明：因为an?1?，所以；又，所以。两式相乘可b??n?1n?1222anan?bnanan?1anbn得
ba2n?12n?12???b?n??an?bnbnbn???1?2，所以数列????是等差数列；
aanbnanan???n???222（3）不可能为等比数列。证明：
反证法：若{an}为等比数列，设其公比为q，由{an}为正项数列，易得q?0。接下来我们按下面的情况分类讨论：
① 若q?1，则当n?1?logq22时，有an?a1qn?1?，矛盾！ 2a12② 若q?1，不妨设an?a，（其中a为正常数），所以bn?1?abn，所以{bn}为等比数列。因为an?1?anbn，an2?bn2所以有a?abn23ab?b?a?0对于n?N*成立，，化简得因此数列{bn}的各项只能取一个或两nn22a?bn232个不同的值，又因为{bn}为等比数列，所以只能有a?1，而此时方程abn?bn?a?0变为bn?bn?1?0无实根，所以q?1。 ③ 若0?q?1，则由an?1?anbnan?1bn?1an?1anbnqbn可得 a???n?2222222222an?bnan?1?bn?1an?1?anbnq?bn?anbn?an?1?an2?bn2qbnan2?bn2?2222?联立?可得q?，所以qan(q?bn)?an?bn。 22q?bnanbnqbn?an?2??q2?bn2?因为0?q?1，所以当n?1?logq所以当n?1?logq1111时，有an?a1qn?1?，所以当n?1?logq时，有bn?1?anbn?bn，2a12a122bN?1，bN}，易得bn?M11]?1，M?max{b1,b2,时，数列{bn}为减数列。设N?[1?logq2a12a1对于n?N*成立，所以bn?1?anbn?Man。
bn2M2an?12M21所以当n?2时，有q(q?bn)?an?时，有?an??(q?)an?1。则当n?6?logq22a(q?M)ananq122M2q?q(q?bn)?(q?)an?1?q3，矛盾。
q322综上所述，{an}不可能为等比数列。