2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末

数学试题

一、单选题

1．已知x?R，则“x?0”是“x?1”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件 【答案】B

【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】

解：由题意可知，x?R，

B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件

?x|x?0???x|x?1?

∴“x?0”是“x?1”的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为?0,???的是（ ） A．y?2

xB．y?x

12C．y?lnx

D．y?cosx

【答案】A

【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】

x解：选项A.y?2的值域为?0,???，选项B. y?x2的值域为?0,???，选项C.

1y?lnx的值域为R，选项D. y?cosx的值域为??1,1?．

故选：A．

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【点睛】

本题考查常见函数的值域，属于简单题．

3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b.对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45?角.以下判断正确的是（ ）

A．①为真命题，②为真命题 C．①为假命题，②为真命题 【答案】B

B．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题

【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】

解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、

D1、Q、E、P共面，

直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；

分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．

∴①为真命题，②为假命题．

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故选：B．

【点睛】

本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．

4．某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型y?0.5sin???x???????3.24（??0）.若该港口在该天0时至24时内，有6?且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A．16时 【答案】D

【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可． 【详解】

解：由题意可知，x?0时，y?0.5sin????0?B．17时

C．18时

D．19时

??????3.24?3.49， 6?由五点法作图可知：如果当x?16时，函数取得最小值可得：16????6?5?，可得2??7， 482?96??T???14?7?x???3.24，函数的周期为：7?此时函数y?0.5sin?， 76??4848该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足， 如果当x?19时，函数取得最小值可得：19????6?5?7，可得??， 257第 3 页 共 20 页

2?114??T???7?x???3.24，函数的周期为：7?此时函数y?0.5sin?7，

6??5757???7x?24时，y?0.5sin???24???3.24?3，如图：

6??57该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．

二、填空题

5．已知集合A??1,2,3,4,5?，B??2,4,6,8?，则AIB?______. 【答案】?2,4?

【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集． 【详解】

解：∵A??1,2,3,4,5?，B??2,4,6,8?， ∴AIB??2,4?． 故答案为：?2,4? 【点睛】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．方程2x?3的解为______.

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