有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 共11个盒子。

【例 23】 如图10-3，圆周上顺序排列着1，2，3，……，12这12个数。我们规定：把圆周上某相邻4

个数的顺序颠倒过来，称为一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2可变为2，1，12，11。问能否经过有限变换，将12个数的顺序变为如图10-4所示的9，1，2，3，……，8，10，11，12？

【解析】 从两个图可以看出，10、11、12没有变化，我们不妨这样排列：9、8、7、6、5、4、3、2、1

变为8、7、6、5、4、3、2、1、9;这样只要9次就行。

【例 24】 在一块黑板上将123456789重复50次得到450位数123456789123456789……。先删去这个数

中从左至右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，……，依此类推。那么，最后删去的是哪个数字？ 【解析】 容易发现，每次留下的应该是2^n位上的数字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一个数字应

该是第256位上的数；256/9=28......4，所以，最后删去的是4。

【例 25】 如图10-5，在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：

从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

【解析】 将黑子右边的第一个编号1，顺时针排下去，到黑子就是第1991号；每隔1枚，取走1枚，即

第一圈取所有偶数编号的，最后一颗取走的为1990号，即黑子左边的一个，到黑子时正好跳过黑子；这样第一圈共取走（1991-1）/2=995个，留下了996个；对剩下的棋子重新按上述方法（即黑子右边为1号）编号，第2圈就变成了全部取走奇数号，因为此时黑子为996号，又正好留下；并且可以知道，只要留下的是偶数枚，黑子总能跳过；992/2=498，第三圈留下498枚；498/2=249，第四圈留下249枚；249为奇数，因此第5圈结束将正好取走黑子，那么，当黑子

8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 9 of 11

被取走时，还留下（249-1）/2=124枚。

【例 26】 “上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如34，568，2469等），上升数不包括

一位数。求所有上升数的个数。 【解析】 首先，上升数中不可能包含0，否则0应该在这个数的最高位

分情况讨论如下：

从1到9中任取不同的两个，将较小的作为十位，较大的作为个位，就可得到一个两位的上升数，所以两位的上升数共有C92?36（个）； 类似地，三位的上升数共有C93?84（个）； 四位的上升数共有C94?126（个）；

5?126（个）五位的上升数共有C9；

六位的上升数共有C96?84（个）； 七位的上升数共有C97?36（个）；

8?9（个）八位的上升数共有C9；

9?1（个）九位的上升数共有C9；

所以上升数共有36?84?126?126?84?36?9?1?502（个）

考虑到从1到9中取出若干个（至少两个），都可以唯一地组成一个上升数。

1?C90?502（个） 所以上升数共有：29?C9

【例 27】 去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，

突然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好的纸条收走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有个特别聪明的同学，立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？ 【解析】 假设一共来了n名同学，则他们认识的人数应该不超过n?1。又因为崔老师说所有同学认识的人

数都不一样，那么这n名同学就应该分别认识0，1，2……n?2，n?1名同学。

但是，那名认识n?1名同学的学生应该认识来参加颁奖的所有同学，也就是说，不可能有人认识

8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 10 of 11

0名同学。因为这n名同学不可能分别认识0，1，2……n?2，n?1名同学，所以也就不可能

所有人认识的人数刚好不同。

【例 28】 （丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父”。而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的数

学 问题）以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？

上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子，

可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途。

【解析】 题目中的数量都与丢番图的年龄直接相关，因此可以考虑列方程求解：

设丢番图活了x岁。可以根据题目条件列出方程

1111x?x?x?5?x?4?x 61272移项后得到

3x?9，解得x?84。 28所以丢番图一共活了84岁。

巧解：由题目条件也可简单地列出算术式：

?5?4????1??1111?3?????9??84（岁） 61272?28或者利用6、12、7的最小公倍数是84。也可以快速算出！

8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 11 of 11