解析 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.
3．观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为 ( )
A．76 B．80 C．86 D．92 答案 B
解析 由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.
4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( )
*
答案 A
解析 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.
5．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 答案 D
解析 类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．成立．类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直．成立．类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交．成立．类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行．不成立．
二、填空题 6．已知 6
22＋＝23
2， 3
33＋＝38
3， 8
44＋＝415
4
，…，若 15
6＋＝
aba(a，b∈R)，则a＋b＝________. b答案 41
解析 根据题意，由于 33， 8
44＋＝415
22＋＝232， 333＋＝ 86＋＝6
4
，…，那么可知 15aba，a＝6，b＝6×6－1＝35，b所以a＋b＝41.
7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{an}(n∈N)的前12项，如下表所示：
*
a1 x1
a2 y1 a3 x2 a4 y2 a5 x3 a6 y3 a7 x4 a8 y4 a9 x5 a10 y5 a11 x6 a12 y6
按如此规律下去，则a2013＋a2014＋a2015的值为______． 答案 1007
解析 由题图知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，则a1＋a3＝a5＋a7
＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，则a2014＝1007，所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.
8．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝a(a＞1)的图象上任意不同的两点．依据图象可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论xax1＋ax2
2
＞ax1＋x2
2
成立．运用类比思想方法，可知若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________________成立．
答案
sinx1＋sinx2x1＋x2
＜sin 22
解析 运用类比推理与数形结合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段
AB的中点的纵坐标
sinx1＋sinx2
总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点
2
?x1＋x2，sinx1＋x2?的纵坐标，即有sinx1＋sinx2＜sinx1＋x2成立． ?2
2?22??
三、解答题
9．观察给出的下列各式：
(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；
(2)tan5°·tan15°＋tan15°·tan70°＋tan70°·tan5°＝1. 由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．
解 观察易知10°＋20°＋60°＝90°，5°＋15°＋70°＝90°，故可以猜想此推广式ππ
为：若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不等于kπ＋(k∈Z)，
22
则有tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1. 证明如下：
ππ
∵α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ，
22∴tan(α＋β)＝tan?
?π－γ?＝cotγ，
??2?
∴tanα＋tanβ＝cotγ(1－tanαtanβ)， ∴tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.
10.如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．
解 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，
DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积相等．
下面证明该结论的正确性： 设内切球半径为R，
11
则VA－BEFD＝(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD)×R＝VA－EFC＝(S△AEC＋S△ACF＋S△ECF)×R，
33即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．