课时作业16 合情推理
知识点一 归纳推理 1.观察下列不等式： 131＋2＜， 221151＋2＋2＜， 23311171＋2＋2＋2＜， 2344…
照此规律，第五个不等式为( ) 11119
A．1＋2＋2＋2＋2＜ 23455111111
B．1＋2＋2＋2＋2＜
23456111119
C．1＋2＋2＋2＋2＋2＜
2345651111111
D．1＋2＋2＋2＋2＋2＜
234566答案 D
1111111
解析 观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋2＋2＋2＋2＋2＜.
2345662．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
Sn (2)S10＝________. 答案 (1)10 (2)55
1 3 6 … 解析 S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3， 推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，
S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.
知识点二 类比推理
3.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有
100
T20T30T40
，，也成等比T10T20T30
数列，且公比为4；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是______________________．
答案 数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300 解析 因为等差数列{an}的公差d＝3， 所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300. 4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：
1
AD2＝1
AB2＋1
AC2，那么在四面体ABCD中，
类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解 如图①所示，由射影定理得
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
所以
1
AD2＝
1
BD·DCBC2BC2
＝＝. BC·BC·BD·DCAB2·AC2
又BC＝AB＋AC，所以类比猜想：
四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则如图②，连接BE交CD于F，连接AF，
1
2
2
2
1
AD2
＝
1
AB2
＋1
AC2
.
AE2
＝1
AB2
＋
1
AC2
＋1
AD2
.
因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， 所以AB⊥平面ACD，
而AF?平面ACD，所以AB⊥AF， 在Rt△ABF中，AE⊥BF， 所以
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AF2，
易知在Rt△ACD中，AF⊥CD， 所以所以
11
AFAE2＝
1
AC1
2＋
11
AD2AC2
， ＋1
，猜想正确.
2
＝
AB2
＋
AD2
知识点三 归纳和类比推理的应用
5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理 C．胡乱推理 D．没有推理 答案 B
解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从
x2y2
给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是2＋2＝1(a>b>0)
ab与x＋y＝a，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．
2
2
2
答案 πab
解析 由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为， 即k＝，∴椭圆面积S＝πa·＝πab.
baba2
ba
一、选择题
1．归纳推理和类比推理的相似之处为( ) A．都是从一般到一般 B．都是从一般到特殊 C．都是从特殊到特殊 D．所得结论都不一定正确 答案 D
解析 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，故选D.
2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( ) A．三角形 C．平行四边形 答案 C
B．梯形 D．矩形