24．

【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C；

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD=180°﹣∠E， 又∵∠CFD=180°﹣∠AFD， ∴∠CFD=∠E=55°， 又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：连接OE， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB=，BD=4， ∴AB=6， ∵E是

的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=3，

∴AE=3∵E是

， 的中点，

∴∠ADE=∠EAB， ∴△AEG∽△DEA， ∴

=

，

即EG?ED=AE2=18．

25．

【解答】解：（1）∵AB=AC，∠ABC=°， ∴∠ACB=∠ABC=°， ∴∠CAB=180°﹣°﹣°=45°，

∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称， ∴∠DAB=∠CAB=45°， ∴∠CAD=45°+45°=90°．

（2）由（1）知：AN⊥AM， ∵点M、N关于AB所在直线对称， ∴AM=AN， ∵CM=x， ∴AN=AM=4﹣x，

∴S=×CM×AN=x（4﹣x），

∴S=﹣x2+2x， ∴当x=﹣

=2时，S有最大值．

（3）∵CE⊥AC， ∴∠ECA=90°， ∵∠CAB=45°， ∴∠CEA=∠EAC=45°， ∴CE=AC=4，

在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=∵AM=AN，∠CAB=∠DAB， ∴AO⊥MN，MO=NO，

在Rt△MAN中，AM=AN=4﹣2=2，由勾股定理得：MN=∴MO=NO=

，

=

，

，MO=

，由勾股定理得：EM=

=2；

，

=4，

=2，

由勾股定理得：AO=∴EO=4

﹣

=3

，

在Rt△EON中，EO=3

分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP=NE=2

②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，

此时NP=MN=2；

③以MN为一边时，

过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ， ∵AE⊥MN，

∴∠EON=∠MZN=90°， ∵∠ENO=∠MNZ， ∴△ENO∽△MNZ， ∴∴∴ZN=

==， ， ，

∴NP=2ZN=，

即所有满足条件NP的长是2或2或．