第5章 机械波

5-1 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，

y t时刻波形曲线如图所示．试分别指出图中A、B、C各质点在该时刻的运动方向。A ；B ；C 。

答： 下 上 上

O A u B C x 5-2 关于振动和波, 下面几句叙述中正确的是［ ］ (A) 有机械振动就一定有机械波；

(B) 机械波的频率与波源的振动频率相同；

(C) 机械波的波速与波源的振动速度相同；

(D) 机械波的波速与波源的振动速度总是不相等的。 答： (B)

5-3 一平面简谐波的表达式为y?0.25cos(125t?0.37x)(SI)，其角频率

? = ，波速u = ，波长? = 。

解：? =125rad?s?1 ;

?u?0.37，u =

125?338m?s?1 0.37??u??2?u??2??338?17.0m 1255-4 频率为500Hz的波，其波速为350m/s，相位差为2π/3 的两点之间的距离为 _。

解： ???2??x?， ?x????=0.233m ?2?5-5 一平面简谐波沿x轴负方向传播。已知在x=-1m处质点的振动方程为y?Acos(?t??)(SI)，若波速为u，则此波的表达式

为 。

1

答： y?Acos[?(t?1x?)??](SI) uu5-6 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P处介质质点的振动方程是［ ］。

y（m） (A) yP?0.10cos(4?t? (B) yP?0.10cos(4?t?(C) yP?0.10cos(2?t?(D) yP?0.10cos(2?t?1?) (SI)； 3u=20m/s 0.1 0.05 O 5m P 1?) (SI)； 31?) (SI)； 31?) (SI)。 6

解：答案为 (A)

确定圆频率：由图知??10m，u=20m/s，得??2???2?u??4?

确定初相：原点处质元t=0时，yP0?0.05?A?、v0?0，所以?? 235-7 一平面简谐波的表达式为y?Acos[?(t?x/u)]，其中?x/u表示 ；??x/u表示 ；y表示 。

答： -x / u是表示x处的质点比原点处的质点多振动的时间（x > 0表明x处的质点比坐标原点处的质点少振动x / u的时间，x < 0表明x处的质点比坐标原点处的质点多振动x / u的时间）。

-?x/u是表示x处的质点超前于坐标原点的相位（x > 0表明x处的质点在相位上落后于坐标原点，x < 0表明x处的质点在相位上超前于坐标原点）。

y表示x处的质点在t时刻离开平衡位置的位移。

5-8已知波源的振动周期为4.00×102 s，波的传播速度为300 m·s-1，波

-

沿x轴正方向传播，则位于x1 = 10.0 m和x2 = 16.0 m的两质点振动相位差的大

2

小为 。

答：???2?x2?x1??2?x2?x18?? uT35-9 一列平面简谐波沿x轴正向无衰减地传播，波的振幅为 2×10-3 m，周期为0.01 s，波速为400 m?s-1。当t = 0时x轴原点处的质元正通过平衡位置向y轴正方向运动，则该简谐波的表达式为 。

答：波沿x轴正向无衰减地传播，所以简谐波的表达式为

xy?Acos[?(t?)??]的形式。

u其中??2???200?；由x0?0、v0?0，知???，代入上式，得 T2y?2?10?3cos[200?(t?x?)?]m 40025-10 一简谐波，振动周期T?1/2s，波长? =10 m，振幅A = 0.1 m. 当t = 0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox轴正方向传播，求:

(1) 此波的表达式；

(2) t1?T/4时刻，x1??/4处质点的位移； (3) t2?T/2时刻，x1??/4处质点振动速度。 解： (1) O点的振动方程为

tt??)?0.1cos(2π?0)?0.1cos(4πt)m T1/2向x轴正向传播的波的波动方程为

xπy?0.1cos(4πt?2π)?0.1cos(4πt?x)(SI)

?5T1? (2) 将t??s,x??2.5m代入波动方程，得位移

4841πy1?0.1cos(4π???2.5)=0.1m

85 (3) 质点振动速度为

?yπv???0.1?4πsin(4πt?x)m/s

?t5yO?Acos(2π

3

将t?T1??s,x??2.5m代入上式，得速度 2441πv??0.4πsin(4π???2.5)m?s?1??0.4πm?s?1??1.26m?s?1

455-11 如图，一平面波在介质中以波速u = 10 m·s-1沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?4?10?2cos(3πt??/3)[SI]。 （1）以A点为坐标原点，写出波函数；

（2）以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波函数；

（3）A点左侧2m处质点的振动方程；该点超前于A点的相位。

B u x A 解： （1）y?4?10?2cos[3π(t?x?)?]m 103（2）y?4?10?2cos[3π(t?x7?)?]m 1064?]m 15（3）y?4?10?2cos[3π(t??x??2??x?0??9?3?3?，即比A点相位落后 ??15555-12图示一平面简谐波在t = 1.0 s时刻的波形图，波的振幅为0.20 m，周期为4.0 s，求（1）坐标原点处质点的振动方程；（2）若OP=5.0m，写出波函数；（3）写出图中P点处质点的振动方程。

4

A O P y（m） 传播方向 x（m） 解： 如图所示为t=0时的波形图，可见t=0原点处质点在负的最大位移处，所以

yu???。

（1）坐标原点处质点的振动方程为 o P x

y?0.2cos(t??)m

2（2）波函数为 习题5-12解题用图

??x y?0.2cos[(t?)??]m

22.5（3）P点的坐标x=5.0m代入上式，得P点的振动方程为

y?0.2cos(t)m 25-13 已知一列机械波的波速为u, 频率为?, 沿着x轴负方向传播．在x轴的正坐标上有两个点x1和x2．如果x1＜x2 , 则x1和x2的相位差?1??2为[ ]

(A) 0 (B)

?2??(x1?x2) u2??(x2?x1)u

o?ux1x2x(C) ? (D)

答： （B） 习题5-13解答用图

5-14如图所示，一简谐波沿BP方向传播，它在B点引起的振动方程为y1?A1cos2πt。另一简谐波沿CP方向传播，它在C点引起的振动方程为

Py2?A2cos?2πt?π?。P点与B点相距0.40 m，与C

点相距0.50 m。波速均为u＝0.20 m?s-1。则两波在P的相位差为 。

答： ????C??B?2?

CBCP?BP________????2?CP?BP0.50?0.40???2??0 uT0.205

________5-15 如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为?的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知S1P?2?，S2P?2.2?，两列波在P点发生相消干涉．若S1的振动方程为y1?Acos(t??/2)，则S2的振动方程为 ［ ］

(A) y2?Acos(t?); (B) y2?Acost?(?); 2(C) y2?Acos(t? S1 P ?S2 ?2t?(0.1?)。 ); (D) y2?Acos答： 答案为（D）。

设S2的振动方成为y2?Acos(t??2)，在P点两波的相位差为

????2??1?2?S2P?S1P???2??2?2?2.2??2????

解得?2?1.9?可记为?2??0.1?。

5-16 如图所示，S为点波源，振动方向垂直于纸面，S1和S2是屏AB上的两个狭缝，S1S2＝a。SS1⊥AB，并且SS1＝b。x轴以S2为坐标原点，并且垂直于AB。在AB左侧，波长为?1；在AB右侧，波长为?2。求x轴上两波相遇点的相位差。

解：如解答用图所示，坐标为x的P点，两列波引起的分振动的相位差为

?a2?b2?bx?x2?a2???2π?????21??? ?? S bS1S2AaxxBS

b?1S1S2Aa?2P(x)xB习题5-16解答用图

5-17 如图所示，两列波长均为?的相干简谐波分别通过图中的O1和O2点，通过O1点的简谐波在M1 M2平面反射后，与通过O2点的简谐波在P点相遇。假定波在M1 M2平面反射时有由半波损失。O1和O2两点的振动方程为

6

P8?，O2P?3?（?y10?Acos?t和y20?Acos?t，且 O1m?m?为波长），求：

(1) 两列波分别在P点引起的振动的方程； (2) 两列波在P点合振动的强度（假定两列波在传播或反射过程中均不衰减）。

O2 P M1 O1 m M2 解： （1）O1在P点引起的振动为y1?Acos[πt?2??8????]=Acos(πt??)

O2在P点引起的振动为y2?A[cosπt?2??3??]?Acos?t

（2）在P点二振动反相，合振动的振幅为0，I?A2，所以P点合振动的强度为0。

5-18 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动［ ］ (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．

(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． 答：（B）

5-19在波长为?的驻波中，相对同一波节距离为?/8两点的振幅和相位分别为

答：（B）

(A) 相等和0； (B)??相等和?； (C) 不等和0； (D) 不等和?。 ［ ］

5-20 一静止的报警器，其频率为1000 Hz，有一汽车以79.2 km的时速驶向和背离报警器时，坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是 和 （设空气中声速为340 m·s-1）。

解：汽车速度为vS?79200?3600?22m?s-1

7

驶向报警器接收的频率为：???u340?1000???1069Hz u?vS340?22u340?1000???939Hz u?vS340?22背离报警器接收的频率为：???第8章 气体动理论

8-1容器中储有1mol 的氮气，压强为1.33Pa，温度为7℃，则（1）1 m3

中氮气的分子数为多少? （2）容器中的氮气的密度为多少? 解：

（1）由p?nVkT得

nV?p20-3?3.44×10 m kT （2）由理想气体状态方程，得??Mp?-5-3

?? 1.6 ×10 kg·m。 VRT8-2 质量为4.4g的二氧化碳气体，体积为1×10-3m3，温度为 -23?C，试分别用真实气体的状态方程与理想气体的状态方程计算二氧化碳的压强是多少？并将两种结果进行比较。已知二氧化碳的范德瓦耳斯常数a=3.64×10-1Pa·m6·mol-2, b = 4.27×10-5m3·mol-1。

解：

（1）由理想气体状态得p?MRT?2.077?105Pa ?V（2）由真实气体状态方程得p = 2.05×105Pa

8-3 若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了百分之几？

8

解： 由p?nVkT 得

?nVn1?(11?)T1?4% T1T28-4日冕层是太阳大气的最外层，由等离子体组成（主要为质子、电子和氦离子，我们统称为带电粒子），温度为5×106 K，分子数密度约为2.7×1011个粒子/m3。若将等离子体视为理想气体，求（1）等离子气体的压强；（2）带电粒子的平均平动动能（3）质子的方均根速率。已知质子的质量为1.673×10-27kg。 解：（1） p?nVkT?1.86?10?5 Pa；

3（2）??kT?1.035?10-16J；

2（3）v2?1.73kT?3.52?105m/s m8-5 有体积为2×10

m3的氧气，其内能为6.75×102 J。

（1）试求气体的压强；

（2）设分子总数为5.4×1022个，求分子的平均能量及气体的温度；

（3）分子的方均根速率为多少？

Mi5RT?pV ?22解：（1）由内能E?得

p?2E?1.35?105Pa 5V（2）由知??E5?1.25?10?20J。因为??kT，所以 N2T?2??362K 5k匀速运动，瓶子中充有

9

8-6容积为9.6×10-3m3的瓶子以速率v＝200 m·s

质量为100g的氢气。设瓶子突然停止，且气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换，求热平衡后氢气的温度、压强各增加多少?

解： 因氢气的定向运动动能全部转化为内能，即

1M5Mv2?R?T 2?2?T?1.925K

由理想气体状态方程，得

M?pV??R?T

?p?MR?T?8.33?104Pa?V

8-7 1mol的氦气和氧气，在温度为27?C的平衡态下分子的平均平动动能和平均动能分别为多少？内能分别为多少？

解： 氧气：?t?氦气：?t?355kT?6.21?10-21J；??kT?1.035?10?20J；E?RT?6232J 222333kT?6.21?10-21J；??kT?6.21?10?21J；E?RT?3740J 2228-8在相同的温度和压强下，单位体积的氢气（视为刚性双原子分子气体）

与氦气的内能之比为多少？质量为1kg的氢气与氦气的内能之比为多少？

解：因温度和压强相同，由p?nVkT知nV相同

10

单位体积的内能之比为

5； 3E氢E氦?5410 ??323质量为1kg的氢气与氦气的内能之比为

8-9 温度为100?C的水蒸汽在常压下可视为理想气体，求分子的平均平动动能、分子的方均根速率和18g水蒸汽的内能？

解：?t?3kT?7.72?10-21J ; 2v2?3RT?6?718.8m/s；E?nRT?9298.9J

28-10 1 mol氮气，由状态A（p1,V）变到状态B（p2,V），气体内能的增量为多少?

解：?E?n55R?T，由理想气体状态方程，得?E?V(p2?p1) 228-11 一容器器壁由绝热材料制成，容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为-33?C，另一半装有氧气，温度为27?C，若两者压强相同。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解： 设扩散后的温度为T，扩散前氦气的温度为T1，氧气的温度为T2。

由于扩散前后能量守恒，有 n1由pV?nRT,得n1?pV,RT1n2?pVRT23535RT1?n2RT2?n1RT?n2RT 2222

所以 T?8T1T2?274.3K

3T2?5T18-12 1摩尔温度为T1的氢气与2摩尔温度为T2的氦气混合后的温度为多少？设混合过程中没有能量损失。

解： 设混合后的温度为T，有

11

35352?RT2?RT1?2?RT?RT 2222T?6T2?5T111

8-13 2摩尔的水蒸气在温度为67℃，分解成同温度的氢气和氧气，求分解前后分子的平均平动动能和气体内能的增量。设分解前后的气体分子均为刚性理想气体分子。

解：由化学方程式

2H2O→2H2＋O2

2mol的水蒸气将分解成2mol的氢气和1mol的氧气。H2O为自由度i＝6，平动自由度t＝3的多原子分子，H2和O2都是i＝5，t＝3的双原子分子。

因分解后气体的温度未变，分子的平动自由度t = 3也不变，故分子的平均平动动能?t?kT不变。

分解前，水蒸气的内能

6E1?nRT?6RT

232分解后，氢气和氧气的总内能

E2??n氢555RT?n氧RT?2RT?RT 222故分解前后的内能变化量为?E?E2?E1??1.5RT??4238.1J

8-14 图8-14的两条f(v)~v曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。由此可得氢气与氧气分子的最概然速率分别为多少?

f（v） Ⅰ Ⅱ

O 2000

v（m /s） 12

解：由vp?1.41RT?知氢气的最概然速率大于氧气的最改燃速率，则曲线

Ⅱ为氢气速率分布曲线，曲线Ⅰ为氧气分子的速率分别曲线。

氢气的最概然速率为2000m/s； 因

vp氢vp氧??氧?4 ?氢所以，氧气分子的最概然速率为500m/s

8-15 若氮气在温度为T1时分子的平均速率等于氧气在温度为T2时分子的平均速率，求T1与T2的比值。

解： 由 v?1.6得

T1?氮7

??T2?氧8RT1?氮?1.6RT2?氧

8-16 已知某理想气体分子的方均根速率为400m·s-1。当其压强为1atm时，求气体的密度。

解：由v2?3RT?，得

?RT?3v2 ??Mp?3p3

???1.9 kg/m VRTv28-17 测得一山顶的压强为海平面处压强的80%，设空气温度均为-13℃，求山顶的海拔高度为多少？空气的摩尔质量为2.9×10-2kg·mol-1，g取10m/s2。

解： z?RTp0=1662 m ln?gp8-18 一真空管真空度为1.33×10-2Pa，设空气分子的有效直径为3×10-10m，空气的摩尔质量为2.9×10-2kg·mol-1。求在温度为300K时分子的平均自由程。

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解： ??

kT2?dp2=41.4m

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