性质：（1）pij?0

（2）

?pijij?1

例 设随机变量X在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y在1?X中等可能的取一整数值，求(X,Y)的概率分布。

二．边缘概率分布

pi??P(X?xi)??P(X?xi,Y?yj)??pij，

jji?1,2,... j?1,2,...

p?j?P(Y?yj)??P(X?xi,Y?yj)??pij，

ii三．条件概率分布

P(Y?yj)?0,P(X?xiY?yj)?P(X?xi,Y?yj)P(Y?yj)?pijp?j?...， i?1,2,

P(X?xi)?0，P(Y?yjX?xi)?X\\Y例 设分布律为01

P(X?xi,Y?yj)P(X?xi)pijpi?，

j?1,2,...

0a111b，已知P(Y?1X?0)?，P(X?1Y?0)?，求a,b,c

23c0.5§3 二维连续型随机变量

一．概率密度

xyF(x,y)???????——概率密度 f(u,?)dud? f(x,y)性质：（1）f(x,y)?0

（2）

??????????f(x,y)dxdy?1

?ke?(2x?y),??x?0,y?0例 f(x,y)??， 则k?__________。

??????0?????????????其他

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二．边缘密度

fX(x)??????f(x,y)dy， fY(y)?????f(x,y)dx

三．条件概率密度

P(Y?yx???X?x??) 1．条件分布 FYX(yx)?lim???0

PX(?xy???Y?y?? ) FXY(xy)?li?m??02．条件概率密度

fYX(yx)?f(x,y)f(x,y) fXY(xy)? fX(x)fY(y)

fX(x)?0 fY(y)?0

§4 随机变量的独立性

定义：对任意x,y

P(X?x,Y?y)?P(X?x)P(Y?y)

F(x,y)?FX(x)FY(y)

离散型 连续型

pij?pi?p?j

f(x,y)?fX(x)fY(y)

例1．设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及关于

X和Y的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处

X\\Yx1x2p?j1816y1y218y3pi?

例2．判断X与Y是否独立

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X\\Y1（1）

23113161920161930019

?(1?e?2x)(1?e?y)（2） F(x,y)????????????????0x?0,y?0?????其他

§5 二维均匀分布和二维正态分布

一．二维均匀分布

?1?f(x,y)??A??0(x,y)?G其他，

A是G的面积

例 设二维随机变量(X,Y)在xOy平面上由曲线y?x和y?x2所围成的区域上服从均匀分

布，则概率P(0?X?

2二．二维正态分布，N(?1,?2,?12,?2;?)?1,?2?0， ??1

11,0?Y?)?________________。 22f(x,y)?12??1?2??(x??1)22?(x??1)(y??2)(y??2)2??1??exp??????2?2222(1??)?????1???1122????

2性质：（1）X?N(?1,?12)， Y?N(?2,?2)

（2）X与Y相互独立的充分必要条件是??0

2 （3）aX?bY?N(a?1?b?2,a2?12?b2?2?2ab?1?2?)

§6 两个随机变量函数的分布

一．二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。

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二．二维连续型随机变量的函数Z?g(X,Y)的分布求法，可用公式

FZ(z)?P(Z?z)?P(g(X,Y)?z)?y)dxdy

g(x??f(x,,y)?z当Z?X?Y时，FZ(z)????z?x??dx???f(x,y)dy

????dy?z?y????f(x,ydx)

或

F??Z(z)????f(x,z?x)dx

??????f(z?y,y)d y特别，当X,Y相互独立时， fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy

三．简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。

例 设X,Y相互独立，分布函数为FX(x),FY(y)，试求 （1）M?max(X,Y)的分布函数FM(z)； （2）N?min(X,Y)得分布函数FN(z)。

§7 典型例题分析

例1．从1，2，3三个数字中一次任取两数，第一个数为X，第二个数为Y，记??max(X,Y)，试求(X,Y)和(X,?)的分布律及其边缘分布。

xi?101例2．设随机变量Xi?p111，i?1,2，且P(X1X2?0)?1， 424

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