?A? P(AB)?P(AB) ?B? P(AB)?P(AB)
P(AB)?P(A)P(B) ?D? P(AB)?P(A)P(B)
?C?
例5.(06)设A、B为随机事件,且P(B)?0,P(AB)?1,则必有
?A? ?C?
P(A?B)?P(A) ?B? P(A?B)?P(B) P(A?B)?P(A)
?D? P(A?B)?P(B)
例6.试证对任意两个事件A与B,如果P(A)?0,则有
P(B|A)?1?P(B)) P(A)
例7.有两个盒子,第一盒中装有2个红球,1个白球;第二盒中装一半红球,一半白球,现从
两盒中各任取一球放在一起,再从中取一球,问: (1) 这个球是红球的概率;
(2) 若发现这个球是红球,问第一盒中取出的球是红球的概率。
例8.假设有两箱同种零件:第一箱内装50件,其中10件一等品;第二箱内装30件,其中18
件一等品,现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零(不放回)试求: (1)先取出的零件是一等品的概率p;
(2)在先取的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.
例9.袋中装有?个白球和?个黑球,分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取,求
下列事件的概率:
(1) 从袋中取出的第k个球是白球(1?k????)
5
(2) 从袋中取出a?b个球中,恰含a个白球和b个黑球(a??,b??)
例10.随机地向半圆(x,y)0?y?点的连线与x轴的夹角小于
?2ax?x2(其中a?0,是常数)内掷一点,则原点和该
的概率为____________。
??4
例11.在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。
例12.四封信等可能投入三个邮筒,在已知前两封信放入不同邮筒的条件下,求恰有三封信放入
同一个邮筒的概率为_____________。
例13.已知A,B,C三事件中A与B相互独立,P(C)?0,则A,B,C三事件
?A? 相互独立 ?B? 两两独立,但不一定相互独立 ?C? 不一定两两独立 ?D? 一定不两两独立
例14.10台洗衣机中有3台二等品,现已售出1台,在余下的9台中任取2台发现均为一等品,
则原先售出1台为二等品的概率为
?A? 10
3 ?B?
22 ?C? 810
?D?
3 8
例15.甲袋中有2个白球3个黑球,乙袋中全是白球,今从甲袋中任取2球,从乙袋中任取1
球混合后,从中任取1球为白球的概率
6
?A?
1 5 ?B?
2 5 ?C?
3 5
?D?
4 5
例16.10件产品中含有4件次品,今从中任取两件,已知其中有一件是次品,求另一件也是次
品的概率。
(R?N) 例17.两盒火柴各N根,随机抽用,每次一根,求当一盒用完时,另一盒还有R根的概率。
例18.(05)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中任取一个数记为Y,
则P(Y?2)?_____________。
第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求: 理解: 离散型和连续型随机变量,概率分布,分布函数,概率密度
掌握: 分布函数性质:0-1分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,均匀分布,正态分
布,指数分布及它们的应用
会计算: 与随机变量相联系的事件的概率,用泊松分布近似表示二项分布,随机变量简单函
数的概率分布。
数学一,了解;数学三、四,掌握:泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一.随机变量
样本空间?上的实值函数X?X(?),???。常用X,Y,Z表示
7
二.随机变量的分布函数
对于任意实数x,记函数F(x)?P(X?x),???x??? 称F(x)为随机变量X的分布函数;
F(x)的值等于随机变量X在???,x?内取值的概率。
三.分布函数的性质
(1)xlim???F(x)?0,记为F(??)?0;
xlim???F(x)?1,记为F(??)?1。
(2)F(x)是单调非减,即x1?x2时,F(x1)?F(x2) (3)F(x)是右连续,即F(x?0)?F(x)
(4)对任意x1?x2,有P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1) (5)对任意x,P(X?x)?F(x)?F(x?0)
性质(1)—(3)是F(x)成为分布函数的充要条件。
?Ax例 设随机变量X的分布函数为F(x)???1?x?,x?0,
??0???????,x?0其中A是常数,求常数A及P(1?X?2)。
§2 离散型随机变量和连续型随机变量一.离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二.离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X的可能取值是x1,x2,...,xn,... 称P(X?xk)?pk,k?1,2,...为X的概率分布或分布律
分布律性质:(1)pk?0.,k?1,2,...
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