?A? P(AB)?P(AB) ?B? P(AB)?P(AB)
P(AB)?P(A)P(B) ?D? P(AB)?P(A)P(B)
?C?
例5．(06)设A、B为随机事件，且P(B)?0，P(AB)?1，则必有
?A? ?C?
P(A?B)?P(A) ?B? P(A?B)?P(B) P(A?B)?P(A)
?D? P(A?B)?P(B)
例6．试证对任意两个事件A与B，如果P(A)?0，则有
P(B|A)?1?P(B)） P(A)
例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从
两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；
（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。
例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18
件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p；
（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.
例9．袋中装有?个白球和?个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求
下列事件的概率：
（1） 从袋中取出的第k个球是白球(1?k????)
5
（2） 从袋中取出a?b个球中，恰含a个白球和b个黑球(a??,b??)
例10．随机地向半圆(x,y)0?y?点的连线与x轴的夹角小于
?2ax?x2（其中a?0，是常数）内掷一点，则原点和该
的概率为____________。
??4
例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。
例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入
同一个邮筒的概率为_____________。
例13．已知A,B,C三事件中A与B相互独立，P(C)?0，则A,B,C三事件
?A? 相互独立 ?B? 两两独立，但不一定相互独立 ?C? 不一定两两独立 ?D? 一定不两两独立
例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，
则原先售出1台为二等品的概率为
?A? 10
3 ?B?
22 ?C? 810
?D?
3 8
例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1
球混合后，从中任取1球为白球的概率
6
?A?
1 5 ?B?
2 5 ?C?
3 5
?D?
4 5
例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次
品的概率。
(R?N) 例17．两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。
例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，…，X中任取一个数记为Y，
则P(Y?2)?_____________。
第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度
掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分
布，指数分布及它们的应用
会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函
数的概率分布。
数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一．随机变量
样本空间?上的实值函数X?X(?)，???。常用X,Y,Z表示
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二．随机变量的分布函数
对于任意实数x，记函数F(x)?P(X?x)，???x??? 称F(x)为随机变量X的分布函数；
F(x)的值等于随机变量X在???,x?内取值的概率。
三．分布函数的性质
（1）xlim???F(x)?0，记为F(??)?0；
xlim???F(x)?1，记为F(??)?1。
（2）F(x)是单调非减，即x1?x2时，F(x1)?F(x2) （3）F(x)是右连续，即F(x?0)?F(x)
（4）对任意x1?x2，有P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1) （5）对任意x，P(X?x)?F(x)?F(x?0)
性质（1）—（3）是F(x)成为分布函数的充要条件。
?Ax例 设随机变量X的分布函数为F(x)???1?x?,x?0，
??0???????,x?0其中A是常数，求常数A及P(1?X?2)。
§2 离散型随机变量和连续型随机变量一．离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二．离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X的可能取值是x1,x2,...,xn,... 称P(X?xk)?pk,k?1,2,...为X的概率分布或分布律
分布律性质：（1）pk?0.,k?1,2,...
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