其中S?22(n1?1)S12?(n2?1)S2 ?n1?n2?2S12?12（3）F?2?F(n1?1,n2?1) 2S2?2

§5 典型例题分析

例1．设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1,X2,..Xn的概率

分布为______________。

例2．设总体X?P(?)，则来自总体X的样本X1,X2,..Xn的样本均值X的分布律为

___________。

例3．（98）设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，已知

2?2?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2服从?2(n)分布，其中a,b为常数，则

n?__1或2______。

例4．设随机变量T?t(n)，则T服从的分布及参数为_____________。

例5．（05）设X1,X2,..Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为

样本方差，则

22

(A) nX?N(0,1)

2 (B) nS??2(n)

41

(n?1)X?t(n?1) (C)

S

(D)

(n?1)X12?Xi?2n?F(1,n?1)

2i例6．设X?N0从总体X中抽样取样本X1,X2,...,X9，试确定?的值，使得P(1?X?3),()?2，

19为最大，其中X??Xi。

9i?1

例7．已知X1,X2,X3相互独立，且服从N(0,?)，

证明

例8．设总体X服从正态N(?,?222X1?X2?X3服从t(1)分布。

3X2?X3)，(??0)从该总体中抽取简单随机样本

X1,X2,...,X2nn12n(n?2)，其样本均值为X??Xi，求统计量

2ni?1Y??(Xi?Xn?i?2X)2的数学期望E(Y)。

i?1

例9．（04）设总体X服从正态分布N(?1,?)，总体服从正态分布N(?2,?)，X1,X2,...,Xn1和Y1,Y2,...,Yn2

22分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则

42

n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?i?1j?1??________________。 E???n1?n2?2????

例10．（06）设总体X的概率密度为f(x)?21?xe(???x???)，X1,X2,...,Xn1为总体X的2简单随机样本，其样本方差为S，则E(S2)? 。

第二章 参数估计

考试要求：

理解：参数的点估计，估计量和估计值

了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计 掌握：矩估计法和最大似然估计法 会：验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间 数学三还要求：

掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法

会：用大数定律证明估计量相合性。

§1 点估计

一．点估计的概念

?(X,X,...,X)来估计未知参数?，统计量 用样本X1,X2,...,Xn构造的统计量?12n?(X,X,...,X)称为估计量，它所取得的观测值??(x,x,...,x)称为估计值，估计量和估?12n12n计值统称?的估计。

二．估计量的选择标准

?)?? 1． 无偏性：E(?

43

?和??都是?的无偏估计量，且D(?? ?)?D(??)，则称??比?2． 有效性：如果?121212更有效

???3． 一致性（相合性）：???，称??为?的一致估计量

P例 设总体X的数学期望存在，E(X)??，从来自总体X的样本X1,X2,...,Xn的样本均值

1nX??Xi，试证X是?的无偏估计量。

ni?1

例 设总体的数学期望和方差分别为

?和?2，X1,X2是来自总体X的样本，记

??(1?a)X?aX X12?是?的无偏估计； （1）试证：X?)最小。 （2）确定a使D(X

§2 估计量的求法

一．矩估计法 用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数

1． 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在 2． 可用中心矩，也可用原点矩

3． k个参数要求列出一阶至k阶矩方程

考试大纲只要一阶矩和二阶矩

?1和??2为一阶、二阶样本原点矩，g(??1,??2)就是4． ?1,?2为一阶、二阶原点矩，?g(?1,?2)的矩估计量。

二．最大似然估计法

1．似然函数

44