概率统计
第一讲 随机事件和概率
考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解： 样本空间的概念
理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验
掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），
独立性计算，独立重复试验就算
会计算：古典概率和几何型概率。
§1 随机事件与样本空间
一、随机试验：E
（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知 二、样本空间
试验的每一可能结果——样本点? 所有样本点全体——样本空间? 三、随机事件
样本空间的子集——随机事件 A B C 样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件?出现——?发生，?出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 ?——必然事件 ?——不可能事件
§2 事件间的关系与运算
1
一．事件间关系
包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示
例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用Ai(i?1,2,3)表示事件：
“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）A1A2?A2A3?A1A3； （2）A1A2A3；
（3）A1?A2?A3； （4）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3；再用A1,A2,A3表示下列事件：
(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。
§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式
一．公理化定义 ?,A,P (1)P(A)?0 (2)P(?)?1 (3)P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)?? AiAj??,i?j 二．性质
(1)P(?)?0
（2）P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)?? AiAj??,i?j (3)P(A)?1?P(A)
(4)A?B,P(A)?P(B) (5)0?P(A)?1 三．条件概率与事件独立性 (1)P(A)?0,P(BA)?P(AB)P(A),事件A发生条件下事件B发生的条件概率； (2)P(AB)?P(A)P(B),事件A,B独立，
2
A,B独立?A,B独立?A,B独立?A,B独立；
P(A)?0时,A,B独立?P(BA)?P(B)；
(3)P(Ai1,Ai2,?,Aik)?P(Ai1)P(Ai2)?P(Aik)1?i1?i2???ik?n
称A23n1,A2,?An相互独立,(Cn?Cn???Cn?2n?n?1个等式)
相互独立???????两两独立。 四．五大公式
(1)加法公式：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)P(A1?A2?...?An)??
(2)减法公式：P?A?B??P?A??P?AB? (3)乘法公式：P(A)?0,P(AB)?P(A)P(BA)
P(A1A2...An?1)?0时，P(A1A2...An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?P(AnA1A2...An?1) (4)全概率公式：B1,B2...,Bn是完全事件组，且P(Bi)?0，i?1,?n
nP(A)??P(Bi)P(ABi)
i?1(5)贝叶斯公式：B1,B2,...,Bn是完全事件组，P(A)?0,P(Bi)?0,i?1,?,n
P(B(ABj)jA)?P(Bj)P?n j?1,2,...,n
P(Bi)P(ABi)i?1
§4 古典型概率和伯努利概率
一．古典型概率
3
P(A)?nAn?A所包含的样本点数样本点总数 二．几何型概率
P(A)?L(?A)?A的几何度量L(?)??的几何度量 三．独立重复试验
独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变 四．伯努利试验
试验只有两个结果A和A——伯努利试验
n重伯努利试验
二项概率公式 CkknP(1?P)n?k k?0,1,...n , P(A)?p
§5 典型例题分析
例1.设A,B为两事件，且满足条件AB?AB，则P(AB)?_______________ .
例2.A,B为任意两事件，则事件(A?B)?(B?C)等于事件
?A?
A?C
?B? A?(B?C)
?C? (A?B)?C ?D? (A?B)?BC
例3．随机事件A,B，满足P(A)?P(B)?12和P(A?B)?1 则有 ?A?
A?B??
?B? AB??
?C?
P(A?B)?1
?D? P(A?B)?0
例4．设0?P(A)P(B)?1且P(BA)?P(BA)?1 则必有
4
?A? P(AB)?P(AB) ?B? P(AB)?P(AB)
P(AB)?P(A)P(B) ?D? P(AB)?P(A)P(B)
?C?
例5．(06)设A、B为随机事件，且P(B)?0，P(AB)?1，则必有
?A? ?C?
P(A?B)?P(A) ?B? P(A?B)?P(B) P(A?B)?P(A)
?D? P(A?B)?P(B)
例6．试证对任意两个事件A与B，如果P(A)?0，则有
P(B|A)?1?P(B)） P(A)
例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从
两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；
（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。
例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18
件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p；
（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.
例9．袋中装有?个白球和?个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求
下列事件的概率：
（1） 从袋中取出的第k个球是白球(1?k????)
5
（2） 从袋中取出a?b个球中，恰含a个白球和b个黑球(a??,b??)
例10．随机地向半圆(x,y)0?y?点的连线与x轴的夹角小于
?2ax?x2（其中a?0，是常数）内掷一点，则原点和该
的概率为____________。
??4
例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。
例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入
同一个邮筒的概率为_____________。
例13．已知A,B,C三事件中A与B相互独立，P(C)?0，则A,B,C三事件
?A? 相互独立 ?B? 两两独立，但不一定相互独立 ?C? 不一定两两独立 ?D? 一定不两两独立
例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，
则原先售出1台为二等品的概率为
?A? 10
3 ?B?
22 ?C? 810
?D?
3 8
例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1
球混合后，从中任取1球为白球的概率
6
?A?
1 5 ?B?
2 5 ?C?
3 5
?D?
4 5
例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次
品的概率。
(R?N) 例17．两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。
例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，…，X中任取一个数记为Y，
则P(Y?2)?_____________。
第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度
掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分
布，指数分布及它们的应用
会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函
数的概率分布。
数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一．随机变量
样本空间?上的实值函数X?X(?)，???。常用X,Y,Z表示
7
二．随机变量的分布函数
对于任意实数x，记函数F(x)?P(X?x)，???x??? 称F(x)为随机变量X的分布函数；
F(x)的值等于随机变量X在???,x?内取值的概率。
三．分布函数的性质
（1）xlim???F(x)?0，记为F(??)?0；
xlim???F(x)?1，记为F(??)?1。
（2）F(x)是单调非减，即x1?x2时，F(x1)?F(x2) （3）F(x)是右连续，即F(x?0)?F(x)
（4）对任意x1?x2，有P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1) （5）对任意x，P(X?x)?F(x)?F(x?0)
性质（1）—（3）是F(x)成为分布函数的充要条件。
?Ax例 设随机变量X的分布函数为F(x)???1?x?,x?0，
??0???????,x?0其中A是常数，求常数A及P(1?X?2)。
§2 离散型随机变量和连续型随机变量一．离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二．离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X的可能取值是x1,x2,...,xn,... 称P(X?xk)?pk,k?1,2,...为X的概率分布或分布律
分布律性质：（1）pk?0.,k?1,2,...
8
（2）
?pkk?1
分布律也可表示为
XPx1p1x2?xk?p2?pk?
三．离散型随机变量分布函数
F(x)??P(X?xk)??pk，
P(X?a)?F(a)?F(a?0)
xk?xxk?xX123例1．
P111 求F(x) 326
四．连续型随机变量及其概率密度
设X的分布函数F(x)，如存在非负可积函数f(x)，有
F(x)??x??f(t)dt， ???x?? ?称X为连续型随机变量，f(x)为概率密度。
概率密度性质： （1）f(x)?0； （2）
????f(t)dt?1；
（3）x21?x2，P(x1?X?x2)??xxf(t)dt；
1（4）f(x)的连续点处有F'(x)?f(x)。
例 已知f(x)和f(x)?f1(x)均为概率密度，则f1必满足
?A? ????f1(x)dx?1,f1(x)?0 ?B? ?????f1(x)dx?1,?C? ????f1(x)dx?0,f1(x)?0
?D?
????f1(x)dx?0,
§3 常用分布
f1(x)??f(x)
f1(x)??f(x)9
一．（0—1）分布
X01pP1?p0?p?1
k?0,1,...,n. 0?p?1 ， q?1?p
二．二项分布
kkn?kP(X?k)?Cnpq,
X?B(n,p)
kn?kCMCN?M三．超几何分布 P(X?k)?，k?l1,...,l2， nCNX?H(n,M,N)
四．泊松分布 P(X?k)??kk!e??，k?0,1,2,... ??0
X?P(?)
例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为
时间内至少有两辆车通过的概率为________________。
1，则这段e?1?五．均匀分布 f(x)??b?a??0X?U[a,b]
a?x?b其他
例 设随机变量?在(1,6)上服从均匀分布，则方程x??x?1?0 有实根的概率是_________。
2??e??x六．指数分布 f(x)???0X?E(?)
x?0??x?0， ??0
10
(x??)2七．正态分布 f(x)?1?2?22??e，???x???
X?N(?,?2)，??0
X?N(0,1)标准正态分布
2)?1?x?(x212?e，???x???，?(x)?2??x?t22??edt
如果X?N(?,?2)，则X????N(0,1)
（1）?(?x)??(x) （2）?(?x)?1??(x) （3）?(0)?12 （4）P(X?a)?2?(a)?1，
X?N(0,1)
例 X?N(?,?2)，且?(3)?0.9987，则P(X???3?)?___________。
§4 随机变量X的函数Y?g(X)的分布
一．离散型随机变量的函数分布
设X的分布律P(X?xk)?pk，k?1,2,...
则Y?g(X)的分布律P(Y?g(xk))?pk，k?1,2,... （如果g(xk)相同值，取相应概率之和为Y取该值概率） 二．连续型随机变量的函数分布
1．公式法：X的密度fX(x),y?g(x)单调，导数不为零可导，
h(y)是其反函数，则Y?g(X)的密度为
11
fY(y)????h'(y)fX(h(y))????????????0??y????????其他
其中(?,?)是函数g(x)在X可能取值的区间上值域。 2．定义法： 先求
g(x)?yFY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?y)??然后 fY(y)?FY?(y)。
fX(x)dx
§5 典型例题分析
b?a?x?0?例1．设随机变量的分布函数F(x)?? (1?x)2????????C?????????????????x?0?求a,b,c的值。
例2．设随机变量X的分布律为P(X?k)?C试确定常数C的值。
例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X表
示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。
例4．（04）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)数u?满足
12
?kk!,k?1,2,...,??0
P(X?u?)??，若P(X?x)??，则x等于
?A? u?2 ?B? u1??2 ?C? u1??
2 ?D? u1??
例5．在区间[a,b]上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在[a,b]中任意小区间的概率与这
小区间长度成正比，求X的概率密度。
例6．X?U[2,5]，对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
例7．（06）设随机变量X服从正态分布N(?1,?21)，Y服从正态分布N(?2,?22) 且P{X??1?1}?P{Y??2?1}，则必有
?A? ?1??2 ?B? ?1??2 ?C??1??2 ?D? ?1??2
例8．X的密度f(x)?Ae?x2?x(???x???)，试求常数A。
例9．设X服从参数为2的指数分布，证明：随机变量Y?1?e?2X服从U(0,1)。
13
例10．已知X的密度为f(x)?求Y?X的概率密度。
例11．设随机变量X的密度?(x)满足?(?x)??(x)，F(x)是X的分布函数，
则对任意实数a有
21?xe，(???x???)， 2?A? F(?a)?1???(x)dx
0a ?B? F(?a)?a1???(x)dx 20?C?
F(?a)?F(a)
?D? F(?a)?2F(a)?1
2例12．设随机变量X的分布函数为F(x)，引入函数F，(x)?F(ax)F(x)?F(x)，12F3(x)?1?F(?x)和F4(x)?F(x?a)，则可以确定也是分布函数为
?A? ?C?
F1(x),F2(x) F3(x),F4(x)
?B? F2(x),F3(x) ?D? F2(x),F4(x)
2例13．设X?N(2,?)且P(2?x?4)?0.3，则P(X?0)?____________。
例14．设X?N(?,?)，则随?的增大，概率P(X????)
2 14
?A? 单调增大 ?B? 单调减小 ?C? 保持不变
?D? 非单调变化
例15．证明X与?X具有相同密度，则其分布函数F(x)一定满足F(x)?F(?x)?1。
例16．X?U(a,b)，(a?0)且P(0?X?3)?14，P(X?4)?12， 求：（1）X的概率密度； （2）P(1?X?5)。
第三讲 多维随机变量及其概率分布
考试要求
理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，
边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。 边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。 掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量
§1 二维随机变量及其联合分布函数
一．二维随机变量
设X?X(?),Y?Y(?)是定义在样本空间?上的两个随机变量， 则称向量(X,Y)为二维随机变量或随机向量。 二．二维随机变量的联合分布函数
定义：F(x,y)?P(X?x,Y?y) ???x???，???y??? 性质：（1）0?F(x,y)?1；
15
（2）F(??,y)?F(x,??)?F(??,??)?0，F(??,??)?1； （3）F(x,y)关于x和关于y单调不减； （4）F(x,y)关于x和关于y右连续。
例1．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则随机变量(Y,X)的分布函数
F1(x,y)=_________________.
三．二维随机变量的边缘分布函数
FX(x)?P(X?x)?P(X?x,Y???)?F(x,??) FY(y)?P(Y?y)?P(X???,Y?y)?F(??,y)
例2．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为
(x,y)???(1?e?2x)(1?e?yF)x?0,y?0?????????????0???????其他
试求FX(x),FY(y)
§2 二维离散型随机变量
一．联合概率分布
P(X?xi,Y?yj)?piji,j?1,2,?
X\\Yy1y2?yi?x1p11p12?p1j?x2p21p22?p2j?????
xipi1pi2?pij????
16
性质：（1）pij?0
（2）
?pijij?1
例 设随机变量X在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y在1?X中等可能的取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
二．边缘概率分布
pi??P(X?xi)??P(X?xi,Y?yj)??pij，
jji?1,2,... j?1,2,...
p?j?P(Y?yj)??P(X?xi,Y?yj)??pij，
ii三．条件概率分布
P(Y?yj)?0,P(X?xiY?yj)?P(X?xi,Y?yj)P(Y?yj)?pijp?j?...， i?1,2,
P(X?xi)?0，P(Y?yjX?xi)?X\\Y例 设分布律为01
P(X?xi,Y?yj)P(X?xi)pijpi?，
j?1,2,...
0a111b，已知P(Y?1X?0)?，P(X?1Y?0)?，求a,b,c
23c0.5§3 二维连续型随机变量
一．概率密度
xyF(x,y)???????——概率密度 f(u,?)dud? f(x,y)性质：（1）f(x,y)?0
（2）
??????????f(x,y)dxdy?1
?ke?(2x?y),??x?0,y?0例 f(x,y)??， 则k?__________。
??????0?????????????其他
17
二．边缘密度
fX(x)??????f(x,y)dy， fY(y)?????f(x,y)dx
三．条件概率密度
P(Y?yx???X?x??) 1．条件分布 FYX(yx)?lim???0
PX(?xy???Y?y?? ) FXY(xy)?li?m??02．条件概率密度
fYX(yx)?f(x,y)f(x,y) fXY(xy)? fX(x)fY(y)
fX(x)?0 fY(y)?0
§4 随机变量的独立性
定义：对任意x,y
P(X?x,Y?y)?P(X?x)P(Y?y)
F(x,y)?FX(x)FY(y)
离散型 连续型
pij?pi?p?j
f(x,y)?fX(x)fY(y)
例1．设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及关于
X和Y的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处
X\\Yx1x2p?j1816y1y218y3pi?
例2．判断X与Y是否独立
18
X\\Y1（1）
23113161920161930019
?(1?e?2x)(1?e?y)（2） F(x,y)????????????????0x?0,y?0?????其他
§5 二维均匀分布和二维正态分布
一．二维均匀分布
?1?f(x,y)??A??0(x,y)?G其他，
A是G的面积
例 设二维随机变量(X,Y)在xOy平面上由曲线y?x和y?x2所围成的区域上服从均匀分
布，则概率P(0?X?
2二．二维正态分布，N(?1,?2,?12,?2;?)?1,?2?0， ??1
11,0?Y?)?________________。 22f(x,y)?12??1?2??(x??1)22?(x??1)(y??2)(y??2)2??1??exp??????2?2222(1??)?????1???1122????
2性质：（1）X?N(?1,?12)， Y?N(?2,?2)
（2）X与Y相互独立的充分必要条件是??0
2 （3）aX?bY?N(a?1?b?2,a2?12?b2?2?2ab?1?2?)
§6 两个随机变量函数的分布
一．二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。
19
二．二维连续型随机变量的函数Z?g(X,Y)的分布求法，可用公式
FZ(z)?P(Z?z)?P(g(X,Y)?z)?y)dxdy
g(x??f(x,,y)?z当Z?X?Y时，FZ(z)????z?x??dx???f(x,y)dy
????dy?z?y????f(x,ydx)
或
F??Z(z)????f(x,z?x)dx
??????f(z?y,y)d y特别，当X,Y相互独立时， fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx
fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy
三．简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。
例 设X,Y相互独立，分布函数为FX(x),FY(y)，试求 （1）M?max(X,Y)的分布函数FM(z)； （2）N?min(X,Y)得分布函数FN(z)。
§7 典型例题分析
例1．从1，2，3三个数字中一次任取两数，第一个数为X，第二个数为Y，记??max(X,Y)，试求(X,Y)和(X,?)的分布律及其边缘分布。
xi?101例2．设随机变量Xi?p111，i?1,2，且P(X1X2?0)?1， 424
20
则P(X1?X2)?_______________。
例3．设某班车起点站上车人数X服从参数?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率
为p(0?p?1)，且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y表示在中途下车的人数，求： （1） 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2） 二维随机向量(X,Y)的概率分布。
?Axy2;???0?x?2,0?y?1例4．设随机变量(X,Y)的密度为f(x,y)??，
???其他?????0;求（1）常数A；
例5．设随机变量Xi(i?1,2,3,4)相互独立，均服从分布B(1,)，
求行列式
21
（2）边缘密度； （3）X,Y是否独立。
12X?X1X3X2X4的概率分布。
例6．设相互独立随机变量X与Y分别服从N(0,1)和N(1,1)，则
?A?
P(X?Y?0)?12 ?B? P(X?Y?1)?12 ?C? P(X?Y?0)?12 ?D? P(X?Y?1)?12
例7．设(X,Y)?N(?,?,?2,?2;0)，则P(X?Y)?_____________。
例8．设两随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X??1)?P(Y?1)?12，则成立 ?A?
P(X?Y)?12
?B? P(X?Y)?1 ?C? P(X?Y?0)?1 ?D? P(XY?1)?144
例9．（06）设两个随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max(X,Y)?1}?。
???e?y例10．设f(x,y)y?x?0，
?0其他试求（1）fX(x)和fY(y)，X,Y是否独立； （2）fXY(xy)和fYX(yx)。
22
例11．X,Y相互独立，服从参数为?的泊松分布，证明Z?X?Y服从参数为2?的泊松分布。
例12．（04）设随机变量X在区间（0，1）上服从均匀分布，在X?x随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求： （I）随机变量X和Y的联合概率密度；
（II）Y的概率密度； （III）概率P(X?Y?1)。
例13．（05）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求（I）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z?2X?Y的概率密度fZ(z)； （III）P(Y?
23
(0?x?1)的条件下，
?1,?????0?x?1,0?y?2x
?0,???????????????其他11X?)。 22
第四讲
随机变量的数字特征
考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致
理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，
矩，协方差，相关系数。
掌握：常用分布的数字特征
会计算：用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布
求其函数的数学期望。
§1 随机变量的数学期望
一．定义
1．离散型：P(X?xk)?pk
当
k?1,2,...
?xk?1?kpk绝对收敛
??E(X)??xkpk
k?1?2．连续型：f(x) 当
???xf(x)dx绝对收敛
E(X)??二．性质
????xf(x)dx
（1） E(C)?C （2）E(CX)?CE(X) （3）E(X?Y)?E(X)?E(Y)
（4）X和Y相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y)
例 将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和X的数学期望。
24
三．随机变量X的函数Y?g(X)的数学期望 （1）离散型 P(X?xk)?pk，k?1,2,...
当
?g(x)pkk?1?k绝对收敛，E(Y)?E(g(X))??g(x)pkk?1?k
（2）连续型 f(x)，当
?????g(x)f(x)dx绝对收敛
E(Y)?E(g(X))??????g(x)f(x)dx
四．随机变量(X,Y)的函数Z?g(X,Y)的数学期望 （1）离散型 P(X?xi,Y?yj)?pij，i,j?1,2,...
当
??g(x,y)piji?1j?1??ij绝对收敛
E(Z)?E[g(X,Y)]???g(xi,yj)pij
i?1j?1??（2）连续型
f(x,y)，当??????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛
????E(Z)?E[g(X,Y)]???????g(x,y)f(x,y)dxdy
例1．商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商店的需求量Y是相互独立的随机变
量，且都在区间[10,20]上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
25
§2 随机变量的方差
一．定义：D(X)?E[(X?EX)2] 方差
?(X)?D(X ) 标准差，均方差
二．计算方差的公式：
D(X)?E(X2)?(EX)2， E(X2)?(EX)2
三．性质：
（1）D(C)?0，反之D(X)?0不能得出X为常数； （2）D(aX?b)?a2D(X)；
（3）X,Y相互独立 D(X?Y)?DX?DY。
例 随机变量X的概率密度为f(x)???4xe?2x,??x?0?????0,x?0，
则D(2X?1)?_________________。
§3 常用随机变量的数学期望和方差
一．（0—1）分布 EX?p,DX?pq 二．二项分布 EX?np,DX?npq 三．泊松分布
EX??,DX??
四．均匀分布
EX?a?b(b?a2,DX?)22 五．指数分布 EX?1?,DX?1?2
六．正态分布
X?N(?,?2)，EX??，DX??2
26
(X,Y)?N(?1,?22,?21,?2;?)
EX??1，EY??2，DX??21，DY??22
例 已知随机变量X?B(n,p)，试证D(X)?npq
例 设随机变量X?P(?)，试证E(X)??
§4 矩
原点矩 E(X)，E(X2) 中心矩 E[(X?EX2) ]混合矩 E(XY)
混合中心矩 E[(X?EX)(Y?EY)]
§5 协方差和相关系数
一．协方差
定义：cov(X,Y)?E[X?E(X)][Y?E(Y)]?E(XY)?E(X)E(Y)公式：D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y) 性质：（1）cov(X,Y)?cov(Y,X)； （2）cov(aX,bY)?abcov(X,Y)；
（3）cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y)
二．相关系数
27
定义：?XY?cov(X,Y)
D(X)D(Y)不相关：?XY?0 性质：（1）
（2）
???X,Y不相关 X,Y相互独立?????XY?1；
?XY?1 P(aX?bY?1)?1 ab?0；
2 （3）设(X,Y)?N(?1,?2,?12,?2;?)，
??????则?XY??，且X,Y相互独立???X,Y不相关?????0。
例 对随机变量X,Y，证明下列关系是等价的 （1）cov(X,Y)?0 （2）X与Y不相关 （3）E(XY)?E(X)E(Y) （4）D(X?Y)?D(X)?D(Y)
§6 典型例题分析
例1．设随机变量X服从P(?)分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1，
则??_____________。
例2．已知N件产品中含有M件次品，从中任意取出n件(n?N)，设这n件产品中的次品件数
为X，试求E(X)。
28
例3．（04）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P?X?DX??__________。
例4．设随机变量X的概率密度函数为
x2f(x)?Ae?2?Bx
???x???
其中A,B为常数，已知E(X)?D(X)，试求A,B和E(X)。
例5．（04）设随机变量X21,X2,...,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0
Y?1n?n令Xi，则
i?1(A) cov(X1,Y)??2n (B) cov(X21,Y)??
(C) D(Xn?22n1?Y)?n? (D) D(X?121?Y)?n?
29
例6．在伯努利试验中，已知P(A)?p，现独立，重复地进行试验直到出现A为止，令X表示
所需进行的试验次数，试求E(X)和D(X)。
例7．设随机变量X和Y的联合分布在以点?0,1?,??1,0?,??1,1?为顶点的三角形区域上服从均匀分
布，试求随机变量U=X+Y的方差。
例8．设随机变量X的概率分布密度为f(x)?（1） 求X的E(X)和D(X)
（2） 求X与X的协方差，问X与X是否不相关？ （3） 问X与X是否相互独立？为什么？
例9．已知随机变量(X,Y)服从N(1,0,9,16;?)，设Z?1?xe，???x??? 212XY? 3230
（1） 求Z的E(Z)和D(Z) （2） 求?XZ
（3） 问Z,X是否相互独立？为什么？
例10．设随机变量(X,Y)在D：x2?y2?1内服从均匀分布，则X和Y的相关系数
?XY?_____________。
例11．随机变量X和Y均服从正态分布，则
(A) X+Y一定服从正态分布 (C) (X,Y)一定服从正态分布
(B) X和Y不相关与独立等价 (D) (X,?Y)未必服从正态分布
例12．在n次独立重复试验中，X和Y分别表示成功和失败的次数，则X和Y的相关系数等于
(A) ?1
(B) 0 (C)
1 2
(D) 1
31
例13．设A和B是两个随机事件，定义两个随机变量如下：
X???1出现?AB出现?A出现 和 Y????1?0??0B出现
证明：X与Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。
例14．已知随机变量X的分布P(X?k)?C2kk! k?0,1,2,...
其中C为常数，则随机变量Y?2X?3的D(Y)?_____________。
例15．（04）设A,B为两个随机事件，且P(A)?14，P(BA)?113，P(AB)?2，令X???1A发生?0A不发生
Y???1B发生?0B不发生，
求（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X与Y的相关系数?XY； （III）Z?X2?Y2的概率分布。
32
例16．（06）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X\\Y?101
????????0a????????010.2
0.1??????b0.2?????????0.1c 其中a,b,c为常数，且X的数字期望，E(X)=-0.2,P(Y?0X?0)?0.5 记Z?X?Y
求（I）a,b,c的值；（II）Z的概率分布；（III）P(X?Z)。
?1?2,??1例17．（06）设随机变量X的概率密度为fx(x)??,?4?0,??2?1?x?00?x?2 其它令Y?X，（为二维随机变量(X,Y)的分布函数，求 Fx,y）（I）Y的概率密度fY(y)； （II）cov(X,Y)； （III）F(?
第五讲 大数定律和中心极限定理
考试要求：
数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗—拉
33
1,4). 2普拉斯定理，列维—林德伯格定理
数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗--拉普拉斯定理，
列维—林德伯格定理
数学三：掌握：切比雪夫不等式
数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。
数学四：了解：切比雪夫不等式
§1 切比雪夫不等式和依概率收敛
一．切比雪夫不等式
P?X?E(X)????D(X)?2
??0
二．依概率收敛
nlim???P(Xn?A??)?1
??0 记作XPn???A
例 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计
P(X?E(X)?2)?_______。
§2 大数定律
一．切比雪夫大数定律
设X1,X2,...,Xn,...两两不相关，E(Xi)和D(Xi)存在且存在常数C，使D(Xi)?C(i?1,2,...)则对任意??0
1nnlim???P(n?X1ni?1n?E(Xi)??)?1
i?i?1二．伯努利大数定律
Xn?B(n,p)，则对任意??0
Xnnlim???P(n?p??)?1 三．辛钦大数定律
34
设X1,X2,...,Xn,...独立同分布，E(Xi)??，则对任意??0，
1nlimP(?Xi????)?1 n???ni?1
§3 中心极限定理
一．棣莫弗—拉普拉斯定理
设Xn?B(n,p)，则对任意x
limP(n???Xn?npnp(1?p)?x)??(x)
二．列维—林德伯格定理
设X1,X2,...,Xn,...独立同分布，E(Xi)??，D(Xi)??2 则对任意x
limP(i?1n????Xni?n??x)??(x)
n?§4 典型例题分析
例1．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比
雪夫不等式P(X?Y?6)?______________。
例2．将一枚骰子重复掷n次，则当n???时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于
________。
例3．（05）设X1,X2,...,Xn,...为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为?(??1)的指数分
布，记?(x)为标准正态分布函数，则
35
(A) limP{i?1n???Xnni?n?n???n?x}??(x) (B) limP{i?1?Xnni?n??x}??(x)
n???(C) limP{n????Xi?ni?1n?x}??(x) (D) limP{i?1n???Xin??x}??(x)
第六讲 数理统计 第一章 基本概念
考试要求：
数学一、三
理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值
样本方差和样本矩 数学一
了解：?2分布，t分布，F分布，分位数并会查表计算， 正态总体的常用抽样分布 数学三
了解：产生?变量，t变量，F变量的典型模式
理解：标准正态，?分布，t分布，F分布的分位数并会查表计算，经验分布 掌握：正态分布的常用抽样分布
§1 总体和样本
一．总体：所研究对象的某项数量指标X全体。
二．样本，如果X1,X2,...,Xn相互独立且都与总体X同分布，则称X1,X2,...,Xn为来自总体的
简单随机样本，简称样本。 样本容量，样本值，观测值
22X?F(x)，则X1,X2,...,Xn的联合分布
F(x1,x2,...,xn)??F(x)
ii?1n36
X?f(x)，则X1,X2,...,Xn的联合密度
f(x1,x2,...,xn)??f(xi)
i?1n例 设总体X?e(?)，则来自总体X的样本X1,X2,...,Xn的联合概率密度
f(x1,x2,...,xn)?______________
§2 统计量和样本数字特征
一．统计量
样本(X1,X2,...,Xn)的不含未知参数的函数T?T(X1,X2,...,Xn)。如果x1,x2,...,xn是样本
X1,X2,...,Xn的样本值，则数值T(x1,x2,...,xn)为统计量T(X1,X2,...,Xn)的观测值。
二．样本数字特征
1n1．样本均值 X??Xi；
ni?11n2．样本方差 S?(Xi?X)2， ?n?1i?12 样本标准差
1nS?(Xi?X)2； ?n?1i?11nk3．样本k阶原点矩 Ak??Xi k?1,2；
ni?14．样本二阶中心矩
1nB2??(Xi?X)2
ni?1D(X)?222?，E(S)?D(X)?? E(X)?E(X)??， D(X)?nn 37
1nP如果E(X)??k，An??Xik????k。
ni?1k例 设总体X的概率密度为f(x)???2x,?0,0?x?1其他，来自总体X的样本为X1,X2,X3,X4则
X(4)?max(X1,X2,X3,X4)的概率密度fX(4)(x)?_____________.
§3 常用统计抽样分布
常用统计抽样分布：正态分布，?2分布，t分布和F分布。除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。 一．?2分布
1．典型模式：X1,X2,..Xn相互独立且均服从N(0,1)，则称
?2?X12?X22?...?Xn2 服从自由度为n的?2分布，记?2??2(n)
nx?1??122xe,??nnf(x)??22?()2????????????0,???????????x?0
x?0E(?2)?n，D(?2)?2n；
2．可加性：设?1?则
222相互独立 ?2(n1)，?2??2(n2)，且?12和?22?12+?2??2(n1?n2)；
2??(n)：设?2??2(n)，对于给定的?(0???1)，称满足条件
3．上?分位点
22(n)为?2(n)分布的上?分位点。 P(?2???(n))??的点??
38
例 已知?2??2(n)，则E(?2)=______________。
二．t分布
1．典型模式：X,Y独立，X?N(0,1)，Y??2(n)，则
T?XY?t(n) n?(n?1)f(x)?2(1?x2)?n?12， ???x???
n??(nn2)f(x)是偶函数，n充分大时，t(n)近似N(0,1)。
2．上?分位点t?(n)
T~t(n)，0???1，P(T?t?(n))??，t1??(n)??t?(n)，P(T?t?(n))?2?三．F分布
1．典型模式：X,Y独立，X??2(n1),Y~?2(n2)，则
F?Xn1Yn?F(n1,n2) 2???(n1?n2n1?1f(x)??2)n1n2?nx212n22,??????x?0??(n1)?(n2)n1?n22 ?22(n1x?n2)???????????????????????0,??????????????????x?0如果 F?F(n11,n2)，则F?F(n2,n1) 2．上?分位点F?(n1,n2)
F?F(n1,n2)，0???1，P(F?F?(n1,n2))??
39
F1??(n1,n2)?
1
F?(n2,n1)§4 正态总体的抽样分布
一．一个正态总体
设X?N(?,?2)，X1,X2,..Xn来自总体X的样本 样本均值X，样本方差S，则 （1）X?N(?,2?2n)，U?X???N(0,1)
?n2（2）X与S相互独立，且X?2(n?1)s2?2??2(n?1)
（3）T?X???t(n?1) Sn1（4）??2?2?(Xi?1ni??)2??2(n)
二．两个正态总体
设X?N(?1,?12)，Y?N(?2,?22)，X1,X2,..Xn1和Y1,Y2,..Yn2，分别来自X和Y的样本，
2相互独立，X,Y,S12,S2，
（1）X?Y?N(?1??2,?12n1??22n2)，U?(X?Y)?(?1??2)?21n1（2）如果?1??2，则
22??22?N(0,1)
n2T?(X?Y)?(?1??2)?t(n1?n2?2)
11S??n1n2 40
其中S?22(n1?1)S12?(n2?1)S2 ?n1?n2?2S12?12（3）F?2?F(n1?1,n2?1) 2S2?2
§5 典型例题分析
例1．设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1,X2,..Xn的概率
分布为______________。
例2．设总体X?P(?)，则来自总体X的样本X1,X2,..Xn的样本均值X的分布律为
___________。
例3．（98）设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，已知
2?2?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2服从?2(n)分布，其中a,b为常数，则
n?__1或2______。
例4．设随机变量T?t(n)，则T服从的分布及参数为_____________。
例5．（05）设X1,X2,..Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为
样本方差，则
22
(A) nX?N(0,1)
2 (B) nS??2(n)
41
(n?1)X?t(n?1) (C)
S
(D)
(n?1)X12?Xi?2n?F(1,n?1)
2i例6．设X?N0从总体X中抽样取样本X1,X2,...,X9，试确定?的值，使得P(1?X?3),()?2，
19为最大，其中X??Xi。
9i?1
例7．已知X1,X2,X3相互独立，且服从N(0,?)，
证明
例8．设总体X服从正态N(?,?222X1?X2?X3服从t(1)分布。
3X2?X3)，(??0)从该总体中抽取简单随机样本
X1,X2,...,X2nn12n(n?2)，其样本均值为X??Xi，求统计量
2ni?1Y??(Xi?Xn?i?2X)2的数学期望E(Y)。
i?1
例9．（04）设总体X服从正态分布N(?1,?)，总体服从正态分布N(?2,?)，X1,X2,...,Xn1和Y1,Y2,...,Yn2
22分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则
42
n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?i?1j?1??________________。 E???n1?n2?2????
例10．（06）设总体X的概率密度为f(x)?21?xe(???x???)，X1,X2,...,Xn1为总体X的2简单随机样本，其样本方差为S，则E(S2)? 。
第二章 参数估计
考试要求：
理解：参数的点估计，估计量和估计值
了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计 掌握：矩估计法和最大似然估计法 会：验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间 数学三还要求：
掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法
会：用大数定律证明估计量相合性。
§1 点估计
一．点估计的概念
?(X,X,...,X)来估计未知参数?，统计量 用样本X1,X2,...,Xn构造的统计量?12n?(X,X,...,X)称为估计量，它所取得的观测值??(x,x,...,x)称为估计值，估计量和估?12n12n计值统称?的估计。
二．估计量的选择标准
?)?? 1． 无偏性：E(?
43
?和??都是?的无偏估计量，且D(?? ?)?D(??)，则称??比?2． 有效性：如果?121212更有效
???3． 一致性（相合性）：???，称??为?的一致估计量
P例 设总体X的数学期望存在，E(X)??，从来自总体X的样本X1,X2,...,Xn的样本均值
1nX??Xi，试证X是?的无偏估计量。
ni?1
例 设总体的数学期望和方差分别为
?和?2，X1,X2是来自总体X的样本，记
??(1?a)X?aX X12?是?的无偏估计； （1）试证：X?)最小。 （2）确定a使D(X
§2 估计量的求法
一．矩估计法 用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数
1． 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在 2． 可用中心矩，也可用原点矩
3． k个参数要求列出一阶至k阶矩方程
考试大纲只要一阶矩和二阶矩
?1和??2为一阶、二阶样本原点矩，g(??1,??2)就是4． ?1,?2为一阶、二阶原点矩，?g(?1,?2)的矩估计量。
二．最大似然估计法
1．似然函数
44
离散型
P(X?ai)?p(ai;?) i?1,2,...,
nL(?)?L(X1,X2,...,Xn;?)??p(Xi;?)
i?1连续型f(x;?)
L(?)?L(X1,X2,...,Xn;?)??f(Xi;?)
i?1n2．最大似然估计
?(X,X,...,X) 使似然函数L(X1,X2,...,Xn;?)达到最大值的参数值?12n3．似然方程 ?为一维时，
dL(?)d(lnL(?))?0或?0 d?d?
??L(?1,?2)?0????1 ?为二维时，?
?L(?,?)12??0????2??lnL(?1,?2)?0????1或 ?
?lnL(?,?)12??0???2?
§3 区间估计
一．置信区间
对于给定的?(0???1)，如果两个统计量?1,?2满足P(?1????2)?1??，则称随机区间(?1,?2)为参数?的置信水平（或置信度）为1??的置信区间（或区间估计），简称为?的
1??的置信区间，?1和?2分别称为置信下限和置信上限。
二．一个正态总体参数的区间估计 未知参数 1??置信区间 ?2已知 (X?U?2?n,???X?U?2?n) ? ?未知 2(X?t?2(n?1)SS,????X?t?2(n?1)) nn45
?2
三．两个正态总体参数的区间估计 未知参数 (n?1)S2(n?1)S2(2,????) ??2(n?1)?2?(n?1)1?21??置信区间 ?12,?22已知 (X?Y?u?2?12n1??22n2,????X?Y?u?2?12n1??22n2) ?1??2 ?12,?22未知，但(X?Y?t?2(n1?n2?2)Sw?12??22 1111?),X?Y?t?2(n1?n2?2)Sw?) n1n2n1n2?12 2?2(n1?1)S12?(n2?1)S22 S?n1?n2?22wS12S121(2?,????F?2(n2?1,n1?1)) S2F?2(n1?1,n2?1)S2219例 设来自正态总体N(?,0.9)的样本值x??xi?5，则未知参数?的置信水平为0.95的置
9i?12信区间是_______________。
例 （05）设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知，现从中随机抽取16
个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
221111(A) (20?t0.05(16),20?t0.05(16)) (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16))
4444 46
1111(C) (20?t0.05(15),20?t0.05(15)) (D) (20?t0.1(15),20?t0.1(15))
4444
§4 典型例题分析
n?1i?1??C例1．设X1,X2,...,Xn为总体N(?,?)的一个样本，已知?估计，则常数C等于
2222?为的无偏(X?X)?i?1i(A)
1 n?1 (B)
1 n
(C)
11 (D)
2n2(n?1)2例2．（05）设X1,X2,...,Xn(n?2)为来自总体N(0,?)的简单随机样本，X为样本均值，
Yi?Xi?X。i?1,2,...,n
求：（I）Yi的方差DYi，i?1,2,...,n； （II）Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn)；
（III）若C(Y1?Yn)是?的无偏估计量，求常数C； （IV）P?Y1?Yn?0?。
例3．从总体X中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别为X1和X2，且
47
22E(X)??和D(X)??2，已知T?aX1?bX2为?的无偏估计量，试求：
（1） 常数a和b应满足的条件； （2） 使D(T)达到最小值的a和b。
例4．设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，已知X?P(?)，
证明T?(1?1nXn)是P(X?0)的无偏估计量。
???例5．(04)设随机变量X的分布函数为F(x;?,?)???1?(),?x??????0,????????????????0,??0，设X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本，
（I）当??1时，求未知参数?的矩估计量； （II）当??1时，求未知参数?的最大似然估计量； （III）当??2时，求未知参数?的最大似然估计量。
例6．设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2(x??)
f(x;?)???2e?,x?? ???????0,?????????????x??
x??，x??其中参数48
其中?为未知参数，又设x1,x2,...,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。
例7．设总体X?U(0,?)，X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，试求：参数?的最大似然估计。
例8．设总体X的概率分布为
X0123P?22?(1??)?21?2?，其中?(0???1)是未知参数，2利用总体X的如下样本值：
3，1，3，0，3，1，2，3
求?的矩估计值和最大似然估计值。
?????,??????0?x?1?例9．（06）设总体X的概率密度为f(x;?)??1??,????1?x?2，其中?是未知参数(0???1)，
????0,?????????其他?记N为样本值x1,x2,...,xn中小于1的个数， X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本，
求（I）?的矩估计； （II）?的最大似然估计。
49
第三章 假设检验
考试要求：
理解：显著性检验的基本思想。
掌握：假设检验的基本步骤，单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。 数一了解：假设检验可能产生的两类错误。 数三理解：假设检验可能产生的两类错误。
数三会：构造简单假设的显著性检验，较简单情形两类错误概率的计算。
§1 基本概念
一．实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的。 二．假设检验
假设：基本假设（原假设，零假设）和备选假设（备择假设，对立假设），参数假设和非参数假设，简单假设和复合假设
假设检验：根据样本，按照一定规则判断所做假设H0的真伪，并作出接受还是拒绝接受H0的决定。 三．两类错误
拒绝实际真的假设H0（弃真）称为第一类错误；
接受实际不真的假设H0（纳伪）称为第二类错误。 四．显著性检验
1．显著性水平：在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为?(0???1)，则?称为显著水平??0.1,0.05,0.01,0.001
2．显著性检验，只控制第一类错误概率?的统计检验 3．显著性检验的一般步骤
（1）根据问题要求提出原假设H0； （2）给出显著性水平?(0???1)；
（3）确定检验统计量及拒绝域形式；
（4）按犯第一类错误的概率等于?，求出拒绝域w；
（5）根据样本值计算检验统计量T的观测值t，当t?w时，拒绝原假设H0，否则接受
50