?1?1?y2??e?2=??0??y?1 …………..6分 y?1 ?e?x,五、（6分）设随机变量X的概率密度为f(x)???0,x?0其它 ， 求随机变量Y=2X+1的概率密度。 解：因为y?2x?1是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当X?0时，Y?1 ………….2分 y?11由y?2x?1， 得x?,x'? …………4分 22?y?11y?1?f(2)?2?从而Y的密度函数为fY(y)?? …………..5分 ?0y?1???1?1?y2??e?2=??0??y?1 …………..6分 y?1六、（8分） 已知随机变量X和Y的概率分布为 01 Y 01 X ?1 P 141211 P 421 2而且P{XY?0}?1. (1) 求随机变量X和Y的联合分布; (2)判断X与Y是否相互独立? 解：因为P?XY?0??1，所以P?XY?0??0 (1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 Y-1 0 1 X 110 0 1 44 21 0 0 111 424 1 21 2 ………….4分 111(2) 因为 P?X?0,Y?0??0?P?X?0?P?Y?0???? 224所以 X与Y不相互独立 …………8分 七、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?12e?(3x?4y), x?0,y?0,? f(x,y)???0, 其他.?求：（1）P(0?X?1,0?Y?2)；（2）求X的边缘密度。 12解：（1）P(0?X?1,0?Y?2)??dx?12e?(3x?4y)dy …………..2分 00 ??3e?3xdx??4e?4ydy=?e?3x0012????e? 10?4y20 ?3 =[1?e][1?e] ………….4分 ?8 （2） fX(x)??12e?(3x?4y)dy …………..6分 ?????3e?3x???0八、（6x?0 ……………..8分 x?014布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。 分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为的指数分 1?x?141?x?0 ………….2分 解： 因为X~e() 得f(x)??4e4??0x?0用Y表示出售一台设备的净盈利 X?1?100 …………3分 Y???100?3000?X?1则 P(Y?100)????1?1?4edx?e4 4x1x1?1?4P?Y??200???edx?1?e4 ………..4分 041?14?14所以 EY?100?e?300e九、（8?14?(?200)?(1?e) ?200?33.64（元） ………..6分 分）设随机变量X与Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，求E(2X?Y),D(2X?Y)。 解：已知EX??2,EY?2,DX?1,DY?4,?XY??0.5 则 E(2X?Y)?2EX?EY?2?(?2)?2??6 ……….4分 D(2X?Y)?D(2X)?DY?2cov(2X,Y) ……….5分 ?2DX?DY?4cov(X,Y) ……….6分 ?2DX?DY?4DX 十、（7DY?XY=12 …………..8分 分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数?(x)的值表示）. 解：用Xi表示第i户居民的用电量，则Xi~U[0,20] (20?0)21000?20? ………2分 EXi??10 DXi?1232则1000户居民的用电量为X??Xi，由独立同分布中心极限定理 i?11000P?X?10100??1?P?X?10100? ………3分