2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆练习 下载本文

3.已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x-2ax+y+a-1=0上的动点,△ABC面积的最小值为3-2,则a的值为( C )

A.1 C.1或-5

B.-5 D.5

2

2

222

[解析] 解法一:圆的标准方程为(x-a)+y=1,圆心M(a,0)到直线AB:x-y+2=0|a+2|

的距离为d=,

2

可知圆上的点到直线AB的最短距离为d-1=|a+2|-2×=3-2,

2

解得a=1或-5.

解法二:圆的标准方程为(x-a)+y=1,

设C的坐标为(a+cosθ,sinθ),C点到直线AB:x-y+2=0的距离为d=|a+cosθ-sinθ+2|

2

|2=

πθ-

4

2

+a+2|

.

πθ-

4

2

+a+2|

2

2

|a+2|

1

-1,(S△ABC)min=×22

22

1

△ABC的面积为S△ABC=×22×

=|2sin(θ-)+a+2|,

4

|2

当a≥0时,a+2-2=3-2,解得a=1; 当-2≤a<0时,|a+2-2|=3-2,无解; 当a<-2时,|a+2+2|=3-2,解得a=-5.

解法三:设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x-y+m=0(m≠2),圆心M(a,0)到直线l′的距离d=1,即

|a+m|

=1,解得m=±2-a, 2

两平行线l,l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离, 即

|m-2||±2-a-2|

=, 22

1|±2-a-2|(S△ABC)min=×22×=|±2-a-2|.

22当a≥0时,|±2-a-2|=3-2,解得a=1.

5

当a<0时,|±2-a-2|=3-2,解得a=-5. 故a=1或-5.

→22

4.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,O是原点,且有|OA3→→

+OB|≥|AB|,则k的取值范围是( C )

3

A.(3,+∞) C.[2,22)

B.[2,+∞) D.[3,22]

[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算.设AB的中点为D,则OD⊥

AB,因为|OA+OB|≥

→→

3→3→→→→→21→2|AB|,所以|2OD|≥|AB|,|AB|≤23|OD|,又因为|OD|+|AB|334

→→22

=4,所以|OD|≥1.因为直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点,所以|OD|<2,

?-k?

所以1≤??<2,解得2≤k<22,

?2?

故选C.

5.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:2x-y+a+1=0和圆:x+y+2x-4=0相切,则

2

2

2

a的取值范围是( C )

A.a>7或a<-3 B.a>6或a<-6

C.-3≤a≤-6或6≤a≤7 D.a≥7或a≤-3

[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力.两条平行线与圆都相交时,

??由?????由???

-5-

+a|

2

<5

+a+1|5

<5

得-6

两条直线都和圆相离时,

-5-

2

+a|

>5

+a+1|5

得a<-3,或a>7,所以两条直线和圆“相切”时a>5

6

的取值范围-3≤a≤-6或6≤a≤7,故选C.

6.过点P(-1,1)作圆C:(x-t)+(y-t+2)=1(t∈R)的切线,切点分别为A,B,21→→

则PA·PB的最小值为. 4

[解析] 圆C:(x-t)+(y-t+2)=1的圆心坐标为(t,t-2),半径为1, 所以PC==

2

22

2

t+

22

+t-

2

t-+8≥8,

APPA=PB=PC2-1,cos∠APC=,

PC所以cos∠APB=2??-1=1-

PC?AP?2??

2

PC2

22121→→22

所以PA·PB=(PC-1)(1-2)=-3+PC+2≥-3+8+=,

PCPC4421→→

所以PA·PB的最小值为.

4

7.过点C(3,4)作圆x+y=5的两条切线,切点分别为A,B,则点C到直线AB的距离为4.

3252222

[解析] 以OC为直径的圆的方程为(x-)+(y-2)=(),AB为圆C与圆O:x+y223225222

=5的公共弦,所以AB的方程为x+y-[(x-)+(y-2)]=5-,化为3x+4y-5=0,

24

2

2

C到AB的距离为d=

|3×3+4×4-5|

=4. 22

3+4

1222

8.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若sinA+sinB=sinC,则直线

2

ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得弦长为27. 1222

[解析] 由正弦定理得a+b=c,

2∴圆心到直线距离d=

|c|

a2+b=2c=2,

12c2

∴弦长l=2r-d=29-2=27.

9.(2018·全国卷Ⅱ,19)设抛物线C:y=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程.

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

[解析] (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).

7

2

22

??y=kx-

设A(x1,y1),B(x2,y2),由?2

?y=4x,?

2

得kx-(2k+4)x+k=0.

2222

2k+4

Δ=16k+16>0,故x1+x2=2. 2

2

k4k+4

所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=2.

k4k+4

由题设知2=8,解得k=-1(舍去),k=1.

2

k因此l的方程为y=x-1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),

所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),

y0=-x0+5,??则?y0-x0+2

x=0+?2?

??x0=3,解得?

??y0=2

2

+16.

2

??x0=11,

或???y0=-6.

2

2

2

因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.

10.(2017·全国卷Ⅲ,20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:

(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.

(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. [解析] (1)不能出现AC⊥BC的情况.理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0), 则x1,x2满足x+mx-2=0, 所以x1x2=-2. 又点C的坐标为(0,1),

-1-11

故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,

x1x22所以不能出现AC⊥BC的情况.

2

2

x211x2

(2)证明:BC的中点坐标为(,),可得BC的中垂线方程为y-=x2(x2-).

2222

由(1)可得x1+x2=-m, 所以AB的中垂线方程为x=-. 2

m 8