3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x－2ax＋y＋a－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为( C )
A．1 C．1或－5
B．－5 D．5
2
2
222
[解析] 解法一：圆的标准方程为(x－a)＋y＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0|a＋2|
的距离为d＝，
2
可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝|a＋2|－2×＝3－2，
2
解得a＝1或－5.
解法二：圆的标准方程为(x－a)＋y＝1，
设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝|a＋cosθ－sinθ＋2|
2
|2＝
πθ－
4
2
＋a＋2|
.
πθ－
4
2
＋a＋2|
2
2
|a＋2|
1
－1，(S△ABC)min＝×22
22
1
△ABC的面积为S△ABC＝×22×
2π
＝|2sin(θ－)＋a＋2|，
4
|2
当a≥0时，a＋2－2＝3－2，解得a＝1； 当－2≤a<0时，|a＋2－2|＝3－2，无解； 当a<－2时，|a＋2＋2|＝3－2，解得a＝－5.
解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即
|a＋m|
＝1，解得m＝±2－a， 2
两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离， 即
|m－2||±2－a－2|
＝， 22
1|±2－a－2|(S△ABC)min＝×22×＝|±2－a－2|.
22当a≥0时，|±2－a－2|＝3－2，解得a＝1.
5
当a<0时，|±2－a－2|＝3－2，解得a＝－5. 故a＝1或－5.
→22
4．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x＋y＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|OA3→→
＋OB|≥|AB|，则k的取值范围是( C )
3
A．(3，＋∞) C．[2，22)
B．[2，＋∞) D．[3，22]
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥
AB，因为|OA＋OB|≥
→→
3→3→→→→→21→2|AB|，所以|2OD|≥|AB|，|AB|≤23|OD|，又因为|OD|＋|AB|334
→→22
＝4，所以|OD|≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x＋y＝4交于不同的两点，所以|OD|<2，
?－k?
所以1≤??<2，解得2≤k<22，
?2?
故选C．
5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则
2
2
2
a的取值范围是( C )
A．a>7或a<－3 B．a>6或a<－6
C．－3≤a≤－6或6≤a≤7 D．a≥7或a≤－3
[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，
??由?????由???
－5－
＋a|
2
<5
＋a＋1|5
<5
得－6 两条直线都和圆相离时， －5－ 2 ＋a| >5 ＋a＋1|5 得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a>5 6 的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C． 6．过点P(－1,1)作圆C：(x－t)＋(y－t＋2)＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，21→→ 则PA·PB的最小值为. 4 [解析] 圆C：(x－t)＋(y－t＋2)＝1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1， 所以PC＝＝ 2 22 2 t＋ 22 ＋t－ 2 t－＋8≥8， APPA＝PB＝PC2－1，cos∠APC＝， PC所以cos∠APB＝2??－1＝1－ PC?AP?2?? 2 PC2 ， 22121→→22 所以PA·PB＝(PC－1)(1－2)＝－3＋PC＋2≥－3＋8＋＝， PCPC4421→→ 所以PA·PB的最小值为. 4 7．过点C(3,4)作圆x＋y＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为4. 3252222 [解析] 以OC为直径的圆的方程为(x－)＋(y－2)＝()，AB为圆C与圆O：x＋y223225222 ＝5的公共弦，所以AB的方程为x＋y－[(x－)＋(y－2)]＝5－，化为3x＋4y－5＝0， 24 2 2 C到AB的距离为d＝ |3×3＋4×4－5| ＝4. 22 3＋4 1222 8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA＋sinB＝sinC，则直线 2 ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为27. 1222 [解析] 由正弦定理得a＋b＝c， 2∴圆心到直线距离d＝ |c| a2＋b＝2c＝2， 12c2 ∴弦长l＝2r－d＝29－2＝27. 9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程． (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． [解析] (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 7 2 22 ??y＝kx－ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2 ?y＝4x，? ， 2 得kx－(2k＋4)x＋k＝0. 2222 2k＋4 Δ＝16k＋16＞0，故x1＋x2＝2. 2 2 k4k＋4 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2. k4k＋4 由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 2 k因此l的方程为y＝x－1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)， 所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， y0＝－x0＋5，??则?y0－x0＋2 x＝0＋?2? ??x0＝3，解得? ??y0＝2 2 ＋16. 2 ??x0＝11， 或???y0＝－6. 2 2 2 因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144. 10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由． (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下： 设A(x1,0)，B(x2,0)， 则x1，x2满足x＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又点C的坐标为(0,1)， －1－11 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－， x1x22所以不能出现AC⊥BC的情况． 2 2 x211x2 (2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x2－)． 2222 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－. 2 m 8