第一部分 专题六 第一讲 直线与圆
A组
1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( B ) A．2
82
B．
383D．
3
C．3
[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)， 2a≠18，求得a＝－1，
2
∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为
3
2|6－|
31＋－
2
2
d＝＝2
82
.故选B． 3
2
2
2．(文)直线x＋y＋2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) πA． 62πC． 3
πB．
35πD． 6
|2|
[解析] 弦心距d＝＝1，半径r＝2，
22π
∴劣弧所对的圆心角为. 3
(理)⊙C1：(x－1)＋y＝4与⊙C2：(x＋1)＋(y－3)＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x＋y＝4截得弦长为( D )
A．13 439C．
13
B．4 839D．
13
2
2
2
2
2
2
[解析] 由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0,0)到l的距离d＝∴截得弦长为2R－d＝22
2
22213
，⊙O的半径R＝2， 13
48394－＝. 1313
3．已知圆C：x＋(y－3)＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|
1
＝23，则直线l的方程为( B )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0
[解析] 当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，|－k＋3|
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝23，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，
k2＋144
解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)，故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4
33＝0.
4．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( C ) A．26 C．46
B．8 D．10
3－212＋7[解析] 由已知得kAB＝＝－，kCB＝＝3，所以kAB·kCB＝－1，所以AB⊥CB，
1－434－1即△ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x－1)＋(y＋2)＝25，令x＝0，得y＝±26－2，所以|MN|＝46，故选C．
5．直线l与圆x＋y＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( A )
A．x－y＋5＝0 C．x－y－5＝0
2
2
2
2
2
2
B．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0
[解析] 设圆x＋y＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，
3－2
故直线CD的斜率kCD＝
－2－－则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－
＝－1， 1＝1，
kCD故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
53A．－或－
3554C．－或－
45
32
B．－或－ 2343D．－或－ 34
2
2
[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在
2
直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵光线与圆(x＋3)|－3k－2－2k－3|432
＋(y－2)＝1相切，∴＝1，解得k＝－或k＝－.故选D．
34k2＋1
2
7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝2.
[解析] 直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且151
∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，即22＝r，∴r＝2.
23＋42
8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方
164
2
2
2
222
x2y2
?3?2225程为?x－?＋y＝.
4?2?[解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x－a)＋y＝r，依题意得a＋2＝－a2
2
2
2
2
2
325?3?22252
，解得a＝， r＝，所以圆的方程为?x－?＋y＝. 244?2?
9．已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)． (1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围． [解析] (1)∵点M，N到直线l的距离相等， ∴l∥MN或l过MN的中点． ∵M(0,2)，N(－2,0)， ∴直线MN的斜率kMN＝1，
MN的中点坐标为C(－1,1)．
又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)， ∴当l∥MN时，k＝kMN＝1； 1
当l过MN的中点时，k＝kCD＝. 31
综上可知，k的值为1或. 3
(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，
∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径， |－k－1－2k＋2|1∴d＝>2，解得k<－或k>1.
7k2＋110．已知点P(0,5)及圆C：x＋y＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
3
2
2
[解析] (1)如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)＋(y－6)＝16，
所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
所以|AD|＝23，|AC|＝4.
2
2
C点坐标为(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线AB的距离公式：3得k＝. 4
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. 所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
B组
1．(2018·南宁一模)直线y＝kx＋3被圆(x－2)＋(y－3)＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )
π5πA．或
66ππC．－或
66
2
2
2
2
|－2k－6＋5|
k2＋－
2
＝2，
ππB．－或
33πD．
6
[解析] 圆(x－2)＋(y－3)＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝
|2k|
，因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)＋(y－3)＝4截得的弦长为23，2
k＋1
2
2
2
2
2
2324k3π
所以由勾股定理得r＝d＋()，即4＝2＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或
2k＋1365π
. 6
2．设直线x－y－a＝0与圆x＋y＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( B )
A．±3 C．±3
B．±6 D．±9
2
2
[解析] 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为3，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为3，所以
|－a|1＋－
2
2
＝3，解得a＝±6.
4