分析： 72=2×2×2×3×3，而数和不能被2整除，所以2×2×2整除，所以B=0，2，4，6，8中一个，验算知道B只能为2；=2752，可以看出它不能被3整除，所以3×3整除，即9整除，被9整除的数各位相加和能被9整除，所以A+2+7+5能被9整除，所以A=4． 不能被2整除， 所以2×2×2整除，所以B=0，2，4，6，8中一个， 只有B=2时，2752能被2×2×2整除，不能被3整除， 所以3×3整除，即9整除所以A=2×9﹣（2+7+5）=4． 答：A是4，B是2． ，被9整除的数各位相加和能被9整除， 解答： 解：因为72=2×2×2×3×3，数点评： 考查了数的整除特征，本题关键是得到2×2×2整除被9整除． 22．如果两个六位数 ，3×3整除，以及被9整除的数各位相加和能、的乘积能够被99整除，那么两位数最小是多少？

考点： 数的整除特征． 专题： 整除性问题． 分析： 根据题意可知两个六位数、的乘积能够被99整除，那么这两个六位数一个是9的倍数，一个是11的倍数，它们的乘积就能被99整除；要使最小，那么就要使A最小，B尽可能的小；然后再进一步解答即可． 解答： 解：根据题意可得： 99=9×11； 可令是9的倍数、由能被9整除的特征可得： 是11的倍数，或者是11的倍数，是9的倍数； 能被9整除，那么1+2+4+A+7+2=16+A是9的倍数，因为，16+2=18，18是9的倍数，所以A=18﹣16=2； 能被9整除，那么3+1+8+4+B+7=23+B是9的倍数，因为23+4=27，27是9的倍数，所以B=27﹣24=3； 由能被11整除的特征可得： 能被11整除，那么（1+4+7）﹣（2+A+2）=8﹣A是11的倍数，8﹣8=0，0是11的倍数，所以，A=8； 能被11整除，那么（3+8+B）﹣（1+4+7）=B﹣1是11的倍数，1﹣1=0，0是11的倍数，所以，B=1； 当是9的倍数、当是11的倍数，21＜83； 所以，当小是21． 是9的倍数、是11的倍数，是9的倍数，是21； 是83； 最是11的倍数，124272×318417的乘积能被99整除，那么两位数答：两位数最小是21． 点评： 一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除；一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除（或为0），则这个数能被11整除；然后再根据题意进一步解答即可． 23．形如且能被11整除的最小自然数n是多少？ 考点： 数的整除特征． 专题： 整除性问题． 分析： 根据题意，且能被11整除，那么这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数，从个位往高位上数，第一个1990开始，1、9是奇数位、9、0是偶数位，n个1990的奇偶位数

字和之差是[（1+9）﹣（9+0）]×n=n，那么这个数的奇偶位数字和之差是n+（1+9﹣2）=n+8；然后再进一步解答即可． 解答： 解：根据题意可得： 如且能被11整除， 那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数； 这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和之差： [（1+9）﹣（9+0）]×n+（1+9﹣2）=n+8； 要使n+8是11的倍数，那么nN至少等于3，3+8=11是11的倍数，即：199019901990129 能被11整除． 答：且能被11整除的最小自然数n是3． 点评： 能被11整除的数有以下特征：如果一个数的奇偶位差是11的倍数（或为0），则这个数就能被11整除，否则不能．即：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除． 24．一个能被11整除的五位数，去掉千位和万位上的数字是一个同时能被2、3、5整除的最小三位数，符合要求的五位数中最小的是？ 考点： 数的整除特征． 专题： 数的整除． 分析： 根据题意，2、3、5的最小公倍数=2×3×5=30，所以，能同时被2、3、5整除的最小三位数是120；设这个五位数是ab120，因为这个数能被11整除，然后再根据能被11整除的数的特征进一步解答即可． 解答： 解：根据题意可得：2、3、5的最小公倍数=2×3×5=30，所以，能同时被2、3、5整除的最小三位数是120； 设这个五位数是ab120； 因为，这个数能被11整除； 所以，（a+1+0）﹣（b+2）能被11整除； 即，a﹣b﹣1能被11整除； 因为这个五位数最小，所以a要最小、b要尽可能小； 当a=1时，a﹣b﹣1=1﹣b﹣1=﹣b，当b=0时，a﹣b﹣1=0，能被11整除； 所以，a=1，b=0时，这个五位数最小是10120． 答：符合要求的五位数中最小的是10120． 点评： 能被11整除的数有以下特征：如果一个数的奇偶位差是11的倍数（或为0），则这个数就能被11整除，否则不能．即：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除． 25．能否用1、2、3、4、5、6六个数码组成一个没有重复数字且能被11整除的六位数？为什么？ 考点： 数的整除特征． 专题： 整除性问题． 分析： 根据能被11整除的数的特征进行解答即可． 解答： 解：不能． 因为能被11整除的数有以下特征：如果一个数的奇偶位差是11的倍数（或为0），则这个数就能被11整除，否则不能．即：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除． 首先，这个差不可能是0，因为如果是0，则奇位和与偶位和相等，所以，这个数所有数字的和一定是偶数，但1+2+3+4+5+6=21为奇数； 其次，这个差不可能是11、22等非0的11的倍数，因为将1、2、3、4、5、6中最大的三个数字6、4、3加起来为13，而另外三个数字1、2、3加起来为6，所以，这个差最大不会超过13﹣6=7． 因此，不能用1、2、3、4、5、6六个数码组成一个没有重复数字且能被11整除的六位数．

点评： 本题主要考查能被11整除的数的特征，然后再进一步解答即可． 26．三个数的和是555，这三个数分别能被3、5、7整除，且商相等，求这三个数． 考点： 按比例分配应用题． 专题： 比和比例． 分析： 因为这三个数分别能被3，5，7整除，并且商都相同，可知这三个数的比为3：5：7，再根据这三个数的和是555，进而利用按比例分配的方法，即可求出这三个数． 解答： 解：555×=111， 555×555×=185， =259． 答：这三个数分别是111、185和259． 点评： 关键是根据“这三个数分别能被3，5，7整除，并且商都相同”，理解这三个数的比就为3：5：7，再利用按比例分配的方法求解． 27．有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数．这三个数是 10，11，12或21，22，23或32，33，34 ． 考点： 数的整除特征． 分析： 因为三个连续的两位数其和必是3的倍数，据题意已知其和是11的倍数，而3与11互质，所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个，它们是33、66、99．所以有：当和为33时，三个数是10，11，12；当和为66时，三个数是21，22，23；当和为99时，三个数是32，33，34． 解答： 解：三个连续的两位数其和必是3的倍数，其和又是11的倍数，而3与11互质，所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个，它们是33、66、99．所以有： 当和为33时，三个数是10，11，12； 当和为66时，三个数是21，22，23； 当和为99时，三个数是32，33，34． 故答案为：10，11，12或21，22，23或32，33，34． 点评： 完成本题的关健是明角“三个连续自然数的和必能被3整除”，可证明如下：设三个连续自然数为n，n+1，n+2，则：n+（n+1）+（n+2）=3n+3=3（n+1）；所以，n+（n+1）+（n+2）能被3整除． 28．从1、2、3、4、5中取三个数，组成的三位数中没有重复数字又能被2和9整除的有哪些？ 考点： 简单的排列、组合． 专题： 传统应用题专题． 分析： 要使能被2和9整除，那么个位数字必须是2或4，如果个位数字是2，那么，十位、百位的数字的和再加2，应是9的倍数；同理，如果个位数字是4，那么，十位、百位的数字和再加4，应是9的倍数；据此列举即可． 解答： 解：要使能被2和9整除，那么个位数字必须是2或4， 如果个位数字是2，那么，十位、百位的数字和再加2，应是9的倍数； 个位是2，那么十位和百位只能选数字：3和4，这时组成的数是：342、432； 同理，如果个位数字是4，那么，十位、百位的数字和再加4，应是9的倍数； 个位是4，那么十位和百位只能选数字：3和2，这时组成的数是：324、234； 综合以上：组成的三位数中没有重复数字又能被2和9整除的有：342、432、324、234． 点评： 本题结合排列组合知识，考查了能被2、9整除的数的特征．

29．如果三位是37的倍数，那么 也是37的倍数，试说明理由． 考点： 位值原则；数的整除特征． 专题： 整除性问题． 分析： 先表示出=100a+10b+c=37k（k为整数），然后表示出 =100c+10a+b，根据和为37的倍数，可得出结论． 解答： 解：这个三位数是，用表达式表示为：100a+10b+c， 因为是37的倍数，则可表示为：100a+10b+c=37k（k为整数）， 这个数乘11得1100a+110b+11c=11×37k，仍旧是37的倍数 三位数可表示为：100c+10a+b， 这个数与1100a+110b+11c的和为：1100a+110b+11c+100c+10a+b=1110a+111b+111c=111×（10a+b+c）=37×3×（10a+b+c） 是37的倍数， 所以也是37的倍数． 点评： 解决本题的关键是根据位置原则表示出这两个数，再根据倍37整除的数的特点进行证明． 30．求所有的三位数，使它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和． 考点： 数字问题． 专题： 传统应用题专题． 分析： 三位数除以11所得的余数只能是1到10，而在这些余数中，3、5、7、不能够写成三个数字的平方和的形式，所以只考虑余数是1、2、4、6、8、9、10的情况，分别列举出此时符合条件的数即可． 解答： 解：因为1=12+02+02，所以符合条件的三位数为100； 222因为2=1+0+1，所以符合条件的三位数为101； 2因为4=2+0+0，找不到符合条件的三位数； 222因为6=2+1+1，找不到符合条件的三位数； 222因为8=2+2+0，找不到符合条件的三位数； 222222因为9=3+0+0=2+2+1，找不到符合条件的三位数； 222因为10=3+1+0，找不到符合条件的三位数； 综合以上得出除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和的三位数是：100、101． 点评： 本题主要是先利用排除的方法，缩小范围，再利用列举的方法，求出符合条件的三位数． 31．一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？ 考点： 数的整除特征． 专题： 整除性问题． 分析： 用（ABC）表示3位数，能被11整除数的特征是：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．11的倍数必须满足：A+C﹣B是11的倍数、因为A、B、C最大为9，所以，A+C﹣B=11或0，A+B是9的倍数．然后根据AB是9的倍数分别讨论，即可得出答案． 解答： 解：用（ABC）表示3位数：11的倍数必须满足：A+C﹣B是11的倍数，A+C﹣B=11或0、A+B是9的倍数． AB能被9整除，可能是：18、27、36、45、54、63、72、81、90、99； ①AB=18时，1+C﹣8=11或0，所以，C=17（舍去）或7， ②AB=27时，2+C﹣7=11或0，所以，C=16（舍去）或5， ③AB=36时，3+C﹣6=11或0，所以，C=14（舍去）或3， ④AB=45时，4+C﹣5=11或0，所以，C=12（舍去）或1， ⑤AB=54时，5+C﹣4=11或0，所以，C=10（舍去）或﹣1（舍去）， ⑥AB=63时，6+C﹣3=11或0，所以，C=﹣3（舍去）或7， ⑦AB=72时，7+C﹣2=11或0，所以，C=﹣5（舍去）或6，