初二数学期中必背考点清单

第十二章《二次根式》 考点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如a(a?0)的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a才有意义． 【典型例题】

【例1】下列各式1）

11,2)?5,3)?x2?2,4)4,5)(?)2,6)1?a,7)a2?2a?1， 53其中是二次根式的是_________（填序号）．

【例2】若式子1有意义，则x的取值范围是 ． x?3 【例3】若y=x?5+5?x+2011，则x+y=

【例4若7-3的整数部分是a，小数部分是b，则3a?b? 。

考点二：二次根式的性质

【知识要点】

1.非负性：a(a?0)是一个非负数．注意：此性质要记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?aa(?0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?(a)2(a?0) 3. a2?|a|??a(a?0)? 注意：（1）字母不一定是正数；（2）能开得尽方

?a(a?0)?的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替；（3）可移到根号内的

因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a?0)?)2?aa(?0)的区别与联系 4. 公式a?与(a|a|???a(a?0)?2 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 【典型例题】

a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例5】若则 ．

（公式(a)2?a(a?0)的运用）

2【例6】 化简：a?1?(a?3)的结果为（ ）

2A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

（公式a2?a???a(a?0)的应用）

?a(a?0)?【例7】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是（ ） A、x?2

练习：

B、x?2

C、?x?2

D、2?x

1、把二次根式a? A. ?a

1化简，正确的结果是（ ） a B. ??a C. ?a

D. a

2、把根号外的因式移到根号内： (a?1)1＝ 。 1?a考点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；?分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】

【例8】在根式1) a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是5（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 【例9】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8 B. 27 C.25 D.

1 2考点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例10】 把下列各式分母有理化

12x2（1） （2） （3） 3482?18xy

考点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方

根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右

边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例11】化简

(1)9?16 (2) 5?215 (3)9x2y2(x?0,y?0) (4) 6?23

1×2考点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】

【例12】计算（1）?32?

???543?13 （2）??105?220?????45?7245??；

????1175?20.5?3 527

（3）32?4

考点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时； 5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化； 【典型例题】【例13】

2233bab)?31、ab5?(? 2、 ●(212 +4b2a2 348 )

考点八：根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a?0,b?0时，①如果a?b，则a?b；②如果a?b，则a?b。

2、平方法 当a?0,b?0时，①如果a2?b2，则a?b；②如果a2?b2，则

1

－8

9111?75?3?4； 8532a?b。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a?b?0?a?b；