??e??z??e??z??????e??????z,z?0 fmax?z????0,z?0(iii)备用的情况。

由于这时当L1系统损坏时L2系统才开始工作，因此整系统L的寿命Z是L1,L2两者之和，即Z=X+Y

按fz?z???fX?z?y?fY?y?dy，当z>0时Z=X+Y的概率密度为

???f?z???fX?z?y?fY?y?dy???e??0?z???z?y??e??ydy???e??z?z0e??????ydy???[e??z?e??z]???当z<0时，f?z??0于是Z=X+Y的概率密度为。

???[e??z?e??z],z?0? fz?z???????0,z?0?(4)更一般的情况：（随机变量的变换）

若??1,?,?n?的密度函数为p?x1,?,xn?，求?1?f1??1,?,?n?,?,?m?fm??1,?,?n?的分布。 若对yi?fi?x1,?,xn?存在唯一的反函数xi?y1,?,yn??ui，（i=1,…,n），且??1,?,?n?的密度函数为qi?y1,?,yn?， 那么

G(y1,?,yn)?u1?y1??un?yn??q?u,?,u?du?du1n1n

?p(x,?,xn)J,若?y1,?,yn?属于f1,?,fn的值域则： q?y1,?,yn???1

?0，其他其中J为坐标变换的雅可比行列式

?x?x1?n?y1?y1J??????x?x1?n?yn?yn

例15：

若?,?为相互独立的随机变量，且具有相同的指数概率密度函数

?e?x,x?0?p?x???试求?????与??的密度函数q?u,v?。

??0,x?0解：

对u?0,v?0作变换u=x+y,v?xuvu,因此x?， ,y?y1?v1?vJ?1?u?u1?x?y??1?v?vy?x?y21?????x?y1?vx ??2?2?yuy 所以

J?u,u?0， 2?1?v?u1?u?ue

?1?v?2?1?v?2q?p?x?p?y?J?e??x?y?J?e?u3、利用已有结论：

例如：

(1)X~N?,?2,Y?aX?b?a?0?也服从正态分布，Y~Na??b,?a??2 (2)X~N?1,?1,Y~N?2,?2且X、Y相互独立， 则Z?X?Y~N?1??2,?12??22

这一结果也可推广到个独立正态随机变量之和的情况。

(3)X、Y相互独立X~???1? Y~???2? 则Z?X?Y~???1??2?。

小结

求随机变量分布律（密度函数）分布函数关键就是把握分布律（或密度函数）、分布函数的定义的实质，以及它们之间的关系，对于求随机函数的分布，以及边际分布、条件分布，关键也在于此。

【参考文献】 1．《概率论》复旦大学数学系 复旦大学出版社 2．《概率论与数理统计》 盛骤 谢式千 潘承毅 浙江大学出版社 3．《概率论与数理统计习题集》 华东师范大学数学系 华东师范大学出版社 4．《怎样解概率题》赵振威 潘叙保 北京师范大学数学系 人民教育出版社

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