故Y=X2的分布律为： Y P 0 1 51 7 304 1 59 11 30 (2)若x为连续型,有密度函数f(x)

i 若g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导函数，则Y= g(x)具有密度函数: f[h(y)]﹒|h＇(y)| ii若g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),

h2(y),…且

?h1(y), h2?(y),…均为连续函数，则Y=g(X)的密度函数为:

f[h1(y)]?|h1例9：

设随机变量?服从正态分布N(0，1)，求?的密度函数P(X)。 解：

?(y)|+f[h2(y)]?|h2?(y)|+…

?的概率密度函数P(X)有：P(X)=

?的分布函数为F(X)，则：

12?e2?x2

?0，X?0?0，X?0 F(X)=P{?

??P?X???X,X?0??2P??X?1,X?0????的概率密度为：

?0，x?0 f(X)=F(X)=? 2?2?x2,X?0???e2、两个随机变量的函数的分布 (1)和的分布: Z=X+Y i连续型:

(X,Y)的概率密度f(x,y) 则 Z的分布函数:

Fz(z)=P(Z≤z)=

化为累次积分，得

x?y?z??f(x,y)dxdy

Fz(z)=???[?z?yf(x,y)dx]dy=????zf(u?y,y)dudy=???[

???????????????f(u?y,y)dy]du

z的密度函数:fz(z)=

?????f(z-y,y)dy=?????????f(x,z-x)dx

当x,y相互独立时:fz(z) =?例10：

fx(z-y)fy(y)dy=???fx(x)fy(z-x)dx

???，?为相互独立的分别服从[0,1]的均匀分布的随机变量,试求S=???的概率

密度函数。

解：??、?相互独立服从U[0,1]分布

???、??的联合密度函数f(x,y)为：

f(x,y)=?令S=??1,0?x,y?1

0,其他???的概率密度为G(Z)则：

G(Z)=P(??Z)=P?????Z?

当Z<0时，P?????Z?=0 当0?Z<1时，P?????Z?=z

22当1?Z<2时，P?????Z?=1??2?z?

22当Z?2，G(Z)=1

?S的概率密度函数g(z)为：

?0，z?0?z,0?z?1 g(z)=G?(Z)=? ??2?z,1?z?2??0,z?2ii离散型:

x,y是相互独立的随机变量分布律分别为：

p{X=k}=

pk , p{Y=y}=qr k=0,1,2,… r=0,1,2,…

i则z=X+Y的分布律:

p{z=i}=?pkqi?k i=0,1,2…

k?0例11：

设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布。证明：

Z=X+Y服从参数为?1??2的泊松分布。

证： ?Y~???2?X~???1?相互独立

?Z=X+Y的分布律为：

P??Z?i????P??X?k,Y?i?k????k?0k?0iii?1kk!e??1??i?k?!?2i?ke??21???1??2?ii!ki?k?e???12i!!k?0k!?i?k?????2?e???1??2?,i?0,1,2,?1i?e???1??2???1??2??1i!i!这说明：

服从泊松分布的相互独立的随机变量具有可加性，既若

若X1~???1?，X2~???2?且X1,X2相互独立，则X1?X2~???1??2?

显然，上述可加性还可以推到任意有限多个服从泊松分布的相互独立的随机变量的情形，即

nn?若X1,X2,?,Xn相互独立，且Xi~???i?,i?1,n则?Xi~?????i?

i?1?i?1? 例12：

（见例14，(iii)）

(2)商的分布:

(x,y)的密度函数则的分布函数f(x,y)则z=x的分布函数：

y Fz(Z)?P?Z?z??x?zy??f(x,y)dxdy

fz(z)??????yf(yz,y)dy

??X、Y独立时，fz(z)??yf(yz,y)dy

??例13：

设X，Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命，X，Y，相互独立，它们的概率

密度依次为：

?e?x,x?0?2e?2y,y?0Xf?x??? g?y???试求Z?的概率密度函数。

Y?0,其他?0,其他 解：由fZ?z???????yfX?yz?fY?y?dy，Z的概率密度为

?yzfZ?z???ye??2e?2ydy??ye?y?2?z?dy????2,当z?0时

?2?z?2?2,z?0?2 fZ?z??0，当z?0时。即fZ?z????2?z??0,z?0?(3)M=max(X,Y) N=min(X,Y)

X、Y相互独立，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)

FM(z)?P?M?Z??P?X?Z,Y?Z??P?X?Z?P?Y?Z?

即: FM(Z)?FX(Z)FY(Z) 又

FN(z)?P?N?Z??1?P?N?Z??1?P?X?Z,Y?Z??1?P?X?Z?P?Y?Z?

即: FN(Z)?1?[1?FX(Z)][1?FY(Z)]

这一结果还可以推广到n个相互独立的随机变量的情部况。

例14：

设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，(iii)备用(当L1系统损坏时,系统L2开始工作)。设L1,L2的寿命分别为X，Y，已知它们的概率密度分别为

??e??x,x?0??e??x,y?0(*3) fY?y???(*4) fX?x????0,x?0?0,y?0其中??0,??0且???。试分别就以上三种联接方式写出L的寿命的Z概率密度。

解:(i)串联的情况。

由于当L1,L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)由(*3)，(*4)式X,Y的分布函数分别为

?1?e??x,x?0?1?e??x,y?0fX?x??? fY?y???

?0,x?0?0,y?0由Fmin?z??1?[1?FX?z?][1?FY?z?]得Z=min(X,Y)的分布函数为

?1?e??????z,z?0Fmin?z???

?0,z?0于是Z=min(X,Y)的概率密度为

??????e??????z,z?0fmin?z???

0,z?0?(ii)并联的情况

由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y) 按Fmax?z??FX?z?FY?z?得Z=max(X,Y)的分布函数为

?1?e??z1?e??z,z?0Fmax?z??FX?z?FY?z???

?0,z?0于是Z=max(X,Y)的概率密度为

????