故(X,Y)的分布律的表格形式为：

Y X 0 1 2 3

0 0 3 83 83 1 80 0 1 80 2． 若(X,Y)为连续型，对于其分布函数F(x,y)存在非负函数f(x,y)使

F(x,y)??y-??f?u,x?dudv，

-?xf(x,y)即为(X,Y)的密度函数，f(x,y)满足：

1°f(x,y)?0 2°????????f(x,y)dxdy?1

2?3°若f(x,y)在点(X,Y)连续，则有F?x,y??f(x,y)。 ?x?y4°G是x0y平面上的一个区域;点(X,Y)落在G内的概

率:P??X,Y??G????f?x,y?dxdy

G

?e?y,0?x?y例5：f?x,y??? 求(x,y)的联合分布函数F(x,y)。

?0,其他解：

F?x,y??P?X?x,Y?y???ds?f?s,t?dt????xy??0,x?0或y?0y?x???ds?e?tdt?1?e?x?xe?y,0?x?y0s?xt?dte?tds?1??y?1?e?y,0?y?x??0?03.

(X,Y)有分布函数F(x,y)，求(X,Y)关于X、关于Y的边缘分布和条件分布

(1)若(X,Y)为离散型,分布律：P?X?xi,Y?yi??Pij 则 X的分布律：P?X?xi???Pij?Pi?i?1,2,??

j?1?Y的分布律：PY?yj????P?P?j?1,2,??

ijji?1?也是(X,Y)关于X，关于Y的边缘分布律 。

P?X?xi,Y?yj?Pij i?1,2,? P?X?xi|Y?yj???P?Y?yj?Pj为在Y?yj条件下随机变量X的条件分布律。

P?X?xi,Y?yj?PijP?Y?yj|X?xi??? j?1,2,?

P?X?xi?Pi为在X?xi条件下随机变量Y的条件分布律。

例6：

以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X和Y的联合分

e?14?7.14??6.86?布律为：P??X?n,Y?m???m!?n?m?!mn?mn?1,2,?m?0,1,?,n

①求边缘分布律； ②求条件分布律 解：

①有联合分布律与边缘分布律之间的关系知：X的分布律为：

e?14?7.14??6.86?P??X?k????P??X?k,Y?l????l!?k?l?!l?0l?0kklk?l?e?141kllk?lCk?7.14??6.86??k!l?0e?14e?14kk?(7.14?6.86)?14,k?0,1,2?k!k!这说明：X服从参数为??14的泊松分布

lk?ll??e?14?7.14??6.86??14?7.14?P??Y?l????P??X?k,Y?l?????el!?k?l?!l!k?lk?l(7.14)6.86?7.14(7.14)?e?e,l?0,1,2??m!l!l!m?0这说明：Y服从参数为??7.14的泊松分布。 ??②由条件概率公式，有

?6.86?k?l?!k?l?k?l??e?14(7.14)l!l??6.86?me?14ll

e?14?7.14??6.86?P??X?n,Y?m??m!?n?m?!P??Y?m/X?n????P??X?n???14?ne?14n!m?0.51?m?0.49?n?m,n?m?0?Cnmn?m?n!?0.51?m?0.49?n?mm!?n?m?!e?14?7.14??6.86?P??X?n,Y?m??m!?n?m?!P??X?n/Y?n?m???P??Y?m???7.14?me?7.14m!mn?mn?m?6.86??e?6.86,n?m?0?n?m?!这说明：

在X=n的条件下，Y的条件分布是参数为n,p=0.51的二项分布。

在Y=m的条件下，X的条件分布是参数为??6.86的泊松分布。

(2)若(X,Y)为连续型，密度函数为f(x,y) Fx?X??F?x,???故

??x??[????f?x,y?dy]dx

fx?X???f?x,y?dy,

??同理

fY?y??????f?x,y?dx f?x,y? fY?y?f?x,y? fX?x?在Y=y条件下X的条件概率密度函数：

fX|Y?x|y??在X=x条件下Y的条件概率密度函数：

fY|X?y|x??

例7：

设随即变量(X,Y)的概率密度为：f?x,y????1，y?x,0?x?1?0,其他 求条件概率密度

fY|X?y|x?,fX|Y?x|y?。

解：

(X,Y)的概率密度为：f?x,y???

故当0

?1，y?x,0?x?1?0,其他

?1dx,?1?y?0???1?y,?1?y?0???yfY?y???f?x,y?dx??1??

??1?y,0?y?1???dx,0?y?1?y当y?x时，X的概率密度为：

fX?x???f?x,y?dx??dy?2x,0?x?1

???x??x?

?1,?y?x?1f?x,y??1?y当-1

?0,x取其他值??1?,y?x 当0

??0,y取其他值

三、求随机变量的函数的分布

1、求一个随机变量X的函数Y=g(X)的分布律(概率密度)，分布函数

(1)若X为离散型 ， p{X =xk}=且

p{y=g(xk)}= p{X =xk}=

若有g(xi)=g(xj) , 则将

pk k=1,2,… 则Y可能取值g(xk) , k=1,2…

pk

pi,pj作和，即p{Y=g(xi)}=pi+pj为Y取g(xi)的概率。反

复用这种方法使g(xk)各不相同，即得Y的分布率，从而可得分布函数。

例8：

设随机变量X的分布律的表格形式为 X -2 -1 P 求Y=X的分布律

解：

因Y=X的所有可能的取值为：0，1，4，8，且

220 1 51 1 153 11 301 51 6P??Y?0???P??X?0???1117 P??Y?1???P??X??1???P??X?1?????

615305P??Y?4???P??X??2???111Y?9???P??X?3??? P??

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