求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数

【关键词】

分布律 概率密度 分布函数

【摘要】

本文紧紧抓住求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数的关键：（1）把握分

布函数的定义（2）熟练掌握常见的分布。对离散型，连续型随机变量，分情况讨论了一维，二维随机变量以及随机变量函数的分布律（或概率密度）、分布函数的求解方法。

引言

求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数是概率论与数理统计中的重点、难

点，但对这类问题也有一定的规律可循，其中最重要的两点：（1）把握分布函数的定义（2）熟练掌握常见的分布。本文仅就一维、二维的随机变量进行讨论。

一、求一维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数

1、离散型随机变量X可能取值为xk (k=1,2,…)，X取各个可能值的概率:

P{X=xk}=

这里

pk, k=1,2,… (*1)

pk满足:

(1) (2)

pk≥0 , k=1,2,…

?PK?1?K?1 =1

(*1)式即为离散型随机变量X的分布律,函数

F(x)=P{X≤x}=

Xk?X?P{X?X}=?PKXk?XK

即为X的分布函数,这是一个跳跃函数,它在每个xk处有跳跃度pk。

对于一个离散型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布。可以根据已有的结论直接写出它的分布律、分布函数。否则，可先找出X可能取的值xk(k=1,2,…n或k=1,2,…) 然后计算出诸

pk的值，可得X的分布律、分布函数。

例1: 一袋中装有5只球,编号为1, 2, 3, 4, 5, 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,求X的分布律,分布函数.

解:

设在袋中任取3只的编号为(

xxx),则由题意,有X=max{xxx}=3, 4, 5

1,2,31,2,3且P(X?3)?CC223513C4?6 ? P(X?4)?C3?P(X?5)? 331010CC105522故X的分布律为:

X P X的分布函数为: 3 4 5 1 103 106 10?0,x?3?1?,3?x?4?10 F(x)???4,4?x?5?10?1,x?5?

2、连续型随机变量的分布函数:F(x)=p{X≤x}是一个连续函数,存在非负可积函数f(x)使:

F(x)??x??f(t)dt,

f(x)为X的密度函数这里f(x)满足:

(1)、 f(x)≥0

(2)、

?????f(x)dx?1

且F(x)和f(x)有如下关系:

(3)、P?x1＜x≤x2?＝F(x2)－F(x1)= ?xx12f(x)dx (x1≤x2)

若f(x)在点x连续，则:

(4)、F??x??f?x? (*2) 对于一个连续型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布，可据已有结论写出它的概率密度、分布函数。否则，可据分布函数的定义计算p{X≤x},得到F（x），再据(*2)式可得f(x)。

例2：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示中弹点与圆心距离。求X的分布函数。

解：

若x＜0，则P{X≤x}是不可能事件，于是

F(x)?P{X≤x}=0

若0≤x≤2，由题意,P?0?X?x?=kx ,k 是某一常数，为了确定k的值，取

2x?2，有P?0?X?2??22k，但已知P?0?X?2??1，故得k?1，即 4x2P?0?X?x?=

4 于是

x2 F(x)? P{X≤x}=P?X?0??P?0?X?x??

4若x?2由题意?X?x?是必然事件，于是

F(x)? P{X≤x}=1

综合上述，即得X的分布函数为

?0,x?0,?2?xF(x)??,0?x?2,

?4??1,x?2.X的概率密度函数为

?x0?x?2,?， f(x)??2

?0,其它.?

3、有的随机变量既不是离散型，又不是连续型。这时仍把握分布函数的定义F(x)= p{X≤x},先计算p{X≤x},可得F(x)。

例3：

一个均匀陀螺，在其圆周的半圈上都标有刻度1，另外半圆上均匀地刻上[0,1]诸数

字，旋转停下时其圆周上触及桌面的刻度是随机变量X，求X的概率密度。

解：

X可能取值是[0,1]上诸数字，

p{触点的刻度为1}=1,

21p{触点刻度在[0,1]内}=,记为p[0,1]。

2由陀螺的均匀性及刻度的均匀性知:

0≤x＜1时 ， p{X≤x}=p{ X≤0}+ p?0＜X≤xx≥1时， p{X≤x}=1

?=0+x?0. p[0,1]=

1?0x 2?0,x?0?x?∴F(x)= p{X≤x}=?,0?x?1

?2??1,1?x这种分布既非离散型，又非连续型，可称为混合型分布。

二、求二维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数

(X,Y)为二维随机变量，二元函数F?x,y??p??X?x???Y?y???p?X?x,Y?y?即为(X,Y)的分布函数。

1． (X,Y)为离散型，所有可能取值为?xi,yi? i,j=1,2,…

P?X?xi,Y?yi??Pij i,j=1,2,…

为(X,Y)的分布律。这里

Pij?0，??Pi?1j?1??ij?1 i,j=1,2,…

通常用表格来表示X、Y的联合分布律。 (X,Y)的分布函数:F?x,y??xi?xyi?y?Pij,其中的和式是对一切满足xi?x,yi?y的i,j来求和。

例4：

将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正

面次数与出现反面次数差的绝对值，试写出X与Y的联合分布律。

解：

令Z为三次中出现反面的次数，则有

0?1?P??X?0,Z?3???P??X?0??P??Z?3/X?0???C3???2?01?1???1?

8?2?3??1?P??X?1,Z?2???P??X?1??P??Z?2/X?1???C???2?1313?1? 1???8?2?2?13?1??1?P??X?2,Z?1???P??X?2??P??Z?1/X?2???C32????1?

8?2??2?2?3?1?P??X?3,Z?0???P??X?3??P??Z?0/X?2???C3???2?31?1???1?

8?2?0?于是，有

13P??X?0,Y?3???P??X?0,Z?3??? P??X?1,Y?1???P??X?1,Z?2???

88P??X?2,Y?1???P??X?2,Z?1???31 P??X?3,Y?3???P??X?3,Z?0???

88P??X?0,Y?1???P??X?3,Z?2???0 P??X?1,Y?3???P??X?2,Z?3???0

P??X?3,Y?1???P??X?3,Z?2???0