位势理论基础

题目：数学家格林对位势理论的贡献

成员：李文斌、曲以春、李可、陈勃

程桂平、陈双军、王祥、杨波 唐湘凯

班级： 大专二十二班

组号： 第四组

格林(George Green，1793.7.14～1841.5.31) 英国数学家、物理学家。生于诺丁汉郡，卒于剑桥。1833年自费入剑桥大学学习，1837年获学士学位。1839年任剑桥大学教授。他是一位自学成才的科学家。1828年，他写成重要著作《数学分析在电磁理论中的应用》，书中他引入了位势概念，提出了著名的格林函数与格林定理，发展了电磁理论。格林的工作基本上是处于隔绝状态下独立进行的，他在该文的前言中为他的资料来源有限而抱憾。的确，他只引用了泊松、拉普拉斯、傅立叶、柯西等少数几位作者的工作。文中一开始便强调了位势函数的中心地位。拉普拉斯和泊松等人已经用到过位势函数，但“位势”这一名称是格林首先引入的。之后他发展了位势函数的一般性质并将它应用于电磁学。他在晶体中光的反射和折射等方面有较大的贡献。他还发展了能量守恒定律，得出了弹性理论的基本方程。变分法中的狄利克雷原理、超球面函数的概念等最初都是由他提出来的。他的名字经常出现在大学数学、物理教科书或当代文献中，以他的名字命名的术语有格林定理、格林公式、格林函数、格林曲线、格林算子、格林测度、格林空间等。格林的工作孕育了以汤姆森、麦克斯韦等为代表的剑桥数学物理学派，他是分析引入英国后第一个沿欧洲大陆上的工作方向发展的英国大数学家。

一、 数学家格林在数学界的地位

与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折。勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一。他建议格林到剑桥深造，1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备。这期间他又完成了三篇论文——“关

于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故。

格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．

格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．

格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一．拉普拉斯在引力计

算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V，它同力场分量(X，Y，Z)的关系为

拉普拉斯同时指出函数V满足方程

并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方．

格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道： “这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．

格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分

出发，应用分部积分法推导得

以上采用的是格林的原始记号，其中dσ为曲面σ的微元，dω为σ的内法线段微元，而

公式(或称格林定理)．用现代记号表示则相当于

格林还进一步探讨了U，V在τ内有奇点的情况，提出格林函数的概念．这是一种带奇性的特殊位势U，满足方程δU=0，且“仅在曲面

的距离”．格林同时假设U在曲面本身上恒等于零．用现代记号表示，格林函数G(r，r′)满足条件：

且有

以及

G(r，r′)= 0(当r∈σ)．

格林未给出函数U的存在与唯一性证明，但却阐述了其物理意义：“为了说明确实存在所述函数U，我们设想曲面是一个接地良导体，在点p′上置一单位正电荷，则由p′及其在曲面上引发的电荷所产生的总位势将等于所要求的U的值”，而“U满足前述论证中所赋予的一切性质”．

格林公式与格林函数已成为现代分析的基本工具，格林函数更被日益广泛地应用于现代物理的许多领域，如量子碰撞、基本粒子理论与固体物理等．

格林对于波动的数学理论有浓厚的兴趣并发表了多篇论文，其中最重要的是关于光波的研究．光的波动的数学描述，在19世纪数学家中一直是一个时髦的课题．在格林时代，科学界所持的一种普遍意见是把光看作弹性固体以太的振动，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引与排斥形式相互作用的机械模型．格林对柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的做法持批判态度，他在论文“论光在两非晶介质公共面上的反射与折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出：

“我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础，而不要去

作特殊的假设．”

格林接着表述他所说的“一般原理”如下：

“任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用，若以所有的内力分别乘以相应的方向元，则对该物质系统的任一指定部分，此乘积的和永远等于某函数的恰当微分．”

这实质上相当于能量守恒原理．格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者．他由此出发导出了描述光媒质振动规律的偏微分方程．在格林写成他的光学论文时，M．法拉第(Faraday)的电磁感应刚发现不久，格林关于光波的数学研究还不具备突破机械以太观的条件，但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为的假设，说明他在这方面比同时期的其他数学物理学家要高出一筹．格林的光波研究对弹性力学的发展亦有重要意义．现代弹性理论中的一种应变张量就被称为“格林张量”．

格林关于水波的研究也引起人们的注意．1337年，英国工程师 S．罗素(Russell)首先观察到一种叫“孤立波”(solitarywave)的现象．罗素于1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时，曾埋怨数学家们未能预报与描述他所观察到的现象．然而在此之前，格林已发表了两篇这方面的论文，其中第一篇“论具有较小深度与宽度的可变渠道中波的运动”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)几乎是与罗素的第一份报告同时发表，格林在其中导出浅水波方程为：

其中φ为水平面对平衡位置的位移，2β，2γ分别表示矩形截面渠道的宽与深，它们是x的函数．为了解上述方程，格林作变换：φ=Af(t+X)(A和X均为x的函数)．将 A，β，γ写成 ωx的函数，设含ω2的项可忽略不计，则变换后原方程化为两个方程：一个是关于函数A的方程，另一个是关于函数X的方程．分别解出这两个方程，得到浅水波方程的解为：

其中f与F是任意函数．经过比较不难看出，格林的上述方法与现代孤立波理论中普遍使用的所谓WKB方法是一致的．

格林在他的第二篇浅水波论文“关于渠道中波的运动的注记”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理论讨论深度为c的渠道波的速度，获得了与实验数据相符合的近似公式．

目前所知的第一个非线性孤立波方程是由D．J．科特维克(Kotteweg)与G．德 弗里斯(De Vries)在1895年给出的．但如果调查一下19世纪水波方面的文献，可以清楚地看出一条线索，说明科特维克与德弗里斯的理论是前人一系列研究的结晶，而格林的工作则处于这条线索的开端．格林无疑是历史上最早试图从数学上描述孤立

波现象的数学家．

格林的著作中还包含许多其他的贡献，它们的意义与影响还有待进一步探讨．n维空间的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出现高维几何的思想．格林1833年完成的论文“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”，率先发展了n元函数分析，其中使用s个坐标{x1，x2，…，xs}来代替通常的三维欧氏坐标，并使用s维球体与椭球体作为相应的三维图形的推广． 现代分析中扮演重要角色的所谓狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦为格林首创．在上述同一篇论文中，格林假设积分(用格林的原始记号)

存在一个极小化函数V0，并指出V0满足方程

这正是s维情形的狄利克雷原理．W．汤姆生(Thomson，即后来的凯尔文勋爵)在1847年也阐述了同样的原理，而他对格林的工作是十分熟悉的．

格林的工作孕育了以汤姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)等人为代表的剑桥数学物理学派．现代数学物理仍然可以从格林著作中汲取营养．然而这位靠自学成才的数学家生前却

默默无闻．他的第一篇论文因未正式发表几乎濒于失传．汤姆生在剑桥当学生时，从一篇论文的文献索引中了解到格林这篇文章的题目，四处寻觅原作而不得．1845年，汤姆生从剑桥毕业，在行将离校的前夕将此事告诉了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人数学教师．出乎他的意料，霍普金斯细心收藏着格林这篇著作的传本．汤姆生带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途，并在巴黎向 J．刘维勒(Li ouville)和C．F．斯图姆(Sturm)介绍了格林的论文，二者阅后立即意识到该文的价值，认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础．后来，在德国数学家 A．L．克勒尔(Crelle)赞助下，格林这篇论文终于在他去世十年后在克勒尔主编的《纯粹与应用数学杂志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式发表(1850)，汤姆生并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言．1871年，剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委N．M．费勒(Ferrers)编辑的《格林数学文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在伦敦出版，格林的工作受到了越来越多的重视．今天，格林度过他艰苦自学岁月的磨坊依然存在，到诺丁汉访问的人，很远就可以看到它耸立的风轮．诺丁汉市决定维护好格林遗址，作为对这位磨坊工出身的数学家的永久纪念．

二、 数学家格林对位势理论的贡献

格林(G·Green，1793～1841年)是19世纪前期英国数学家，他继承了前人的成果，引入了位势概念，建立了“格林函数”，提出“格林定理”和n维空间概念．直到今天，学过高等数学和大学物理的人 都知道“格林公式”、“格林函数”、“格林算子”、“格林空间”和“格林测度”

等．

1、移植思维出成果

格林创立位势理论运用的是移植思维方法．大家知道，数学抽象性这一特点，具有促成不同学科领域相互模拟、相互移植的功能．以二阶常微分方程为例d v ?+P +Qy L ，在力学中可表示为强迫振动方程，在电学中可表示为电阻、电感、电容串联电路方程，在机械学中可表示为受扭力作用的扭转方程．由于这种一个原则，多种内容；一个方法，各处可用，以致可以借助联想和类比，找出两个不同体系之间若干相同或相似点，把其中一领域的成熟理论与方法，移植到另一领域，给新领域注入了活力，并得出新理论、新方法．正如华东某大学一位教授所说：“实际上，数学本身是一种教人聪明的方法．”格林就是这样的聪明人，他是用数学分析研究电磁学中建立位势理论的．他把力学和电学两个体系作了类比，找出质点与电荷基元、引力与磁力(相互吸引或相互排斥)之间的相似性，将天体力学中的引力位势移植为电磁学中的磁力位势，写成《论数学分析在电磁学理论中的应用》的论文．文中包括后来被命名为“格林函数”、“格林定理等成果，不仅继承了前辈学者的传统手法，而且更具普遍性，开拓了数学物理的新领域，广泛适用于电学、磁学、热学和流体力学等．格林的论文分三部分：第一部分，格林从建立位势函数的概念出发，把法国数学家兼天文学家拉普拉斯(P．S．Laplace，1749～1827年)在天体力学中的势函数 ，移植为电荷基元的坐标函数，以开阔的视野提出各类位势理论的一般条件；第二、第三部分，运用数学分析方法处理静电

势和静磁势．并且认为，对势函数“已经不再像过去那样局限为三维空间了． I．他的这一思想为后来开拓出n维几何新领域奠定了基础．

2、艰难的成才之路

与一般科学家不同，格林是先有学术成果而后才上大学的．他童年辍学，青年时代没有机会受高等教育，他一面在父亲的面包铺的磨坊做工，一面坚持自学．磨坊的顶楼成了他的书室，在那里以惊人的毅力研读了拉格朗日(J．J．Lagrange，1736 ～1813年)的《分析力学》、泊松(B．Poisson，1781～1840年)的《力学专论》、拉普拉斯的《天体力学》等经典名著．_2J通过刻苦钻研，格林熟练掌握了数学分析原理，并用来研究静电势和静磁势，导出电磁

学中一系列周密关系．格林的工作表明，导体附近的电力与电位，都可以用数学方法进行处理，突破了以往电学研究侧重于实验的局限．由于有了电磁学的数学框架，电磁学有了新的活力．正如马克思所说：“一门科学只有成功地运用数学，才算达到真正完善的地步．”自18世纪70年代起，法国取代英国成为世界科学活动的中心，其中一个原因是，英国不少学者迷恋牛顿的三大成就(微积分、光学和万有引力)孤芳自赏，盲目排外．格林当时是不知名的“小人物”，不受学术界某些人思维禁锢的影响，努力学习法国学者的新成果，运用移植思维方法，以他山之石，攻己之玉，创立位势理论，写出了思想深邃且有创意的论文．格林靠艰苦自学写成的论文，由他人资助才得以于1828年勉强印了100份，分送给一些知名学者，可惜都没有引起重视．格林没有因此而沉沦，反而激起他进大学深造的热切愿望．为了

筹集学费，他毅然把父亲留给他的面包铺变卖了，又用了三年时间补习，取得了剑桥大学入学资格．经四年奋发学习，格林毕业考试数学获甲等第4名．翌年荣获硕士学位和留校任教的资格．由于格林在剑桥工作成就显著，被誉为“第一位沿着(欧洲)大陆工作线索前进的英国大数学家．”由他培育或受他学术思想影响而成长起来的“剑桥学派”人才济济，其中有斯托克斯(G．G．Stokes，1819 ～ 1930年)、汤姆逊(w．Thomson，1824～1907年)、麦克斯韦(J．C．Maxwell，1831～1879年)、瑞利(J．W．Rayleigh，1842～1919年)等具有精深数学平的物理学家，使一度濒于僵化的学术空气得以缓解，进而为英国的数学物理研究的再度崛起作出了重要贡献．格林这位靠自学成才的数学家，生前却默默无闻，上面提到的格林的第一篇论文几乎频于失传，直到1845年，他的学生威廉·汤姆逊从一位学者所写论文的“参考文献”中得知，l7年前格林有过这篇重要论文，汤姆逊经多方查找，发现了当年两本铅印本，他利用去法国参加学术活动的机会，把格林当年的论文带到巴黎以扩大影响．19世纪法国的数学已发展到了很高水平，新成长起来的科学家，由于受到良好的训练，数学基础大多比较好，为数学物理学的发展创造了良好条件．在他们看来，英国的科学家不懂多少数学．然而，当汤姆逊向法国数学家、《纯数学和应用数学杂志》主编刘维尔(J．Liouvile，1809～1882年)介绍格林生前这篇论文时，刘维尔当即意识到它的价值不凡，经他向法国科学界推荐，引起了震惊，意识到在英国也曾涌现过象格林这样水平高超的数学家兼物理学家．法国数学家斯图姆(C．F．Sturm，1803～1855

年)一口气读完格林的论文后，惊呼：“妙!我的上帝．”此后，登门拜读的人越来越多，均以一睹为快．

3、智慧光茫照千秋

随着时间的推移，格林被公认为现代位势理论的先驱和奠基人之一，他的工作缩短了欧洲大陆与英国在科学发展上的差距．他一生共发表论文l0篇，他的著作数量虽然不大，却包含了影响l9世纪数学物理学发展的宝贵思想．剑桥学派的麦克斯韦，继承格林的事业，运用现代数学知识，进一步把物理学各分支用相互模拟的方法，对流体、电、声等共同开展研究，促成不同领域的物理现象统一到数学概念上来，建立了著名的麦克斯韦方程．麦克斯韦强调数学对研究物理学重要作用，指出：“自然斯望数学和实验研究相结合，这样取得的物理学知识将会比只有数学家或实验家所具有的那种知识更牢固、有用和持久．”麦克斯韦还成功预报了电磁波的存在，写成《电学和磁学专论》一书，系统总结了近百年来电磁学研究的成果，把用数学框架建构起来的电磁学宏伟大厦展现在人们面前．此后，光的波动学说揭开了场物理学的序幕，进而导致了以电器通讯为主体的第二次产业革命的到来．然而，当人们颂扬麦克斯韦的丰功伟业时，麦克斯韦坦然指出：倘若没有格林和高斯等数学家的位势理论，没有偏微分方程这个数学工具，他是不可能建立其电磁学说的．20世纪以来，格林函数已成为偏微分方程的一个基本工具，广泛应用于现代数学、现代物理学的许多领域，如量子理论、基本粒子与固体物理等．多量子理论的格林函数已成为凝聚态理论的有力工具．格林在英国科学研究处在低谷时

期所作的工作，为恢复英国数学物理学研究在其历史上的地位、创立独具风格的剑桥学派作了杰出贡献．为缅怀这位自学成才的大师，1871年，格林逝世30周年，《格林文集》在伦敦出版发行．今天，在格林的故乡— — 诺丁汉市，保存了格林度过艰苦自学岁月的磨坊旧址，磨坊的风车依然高悬耸立，他的故居也得到很好的维护，以供人景仰．格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。