《近世代数》试卷1（时间120分钟）

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）循环群的子群是循环子群。

2. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （ ）存在一个4阶的非交换群。

4. （ ）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. （ ）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。 7. （ ）模97的剩余类环Z97是域。

8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （ ）域是唯一分解整环。

10. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）

1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=< a3>的在G中的指数是 。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是 。 4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ??, [11]｝中，［5］＋［10］＝ ，［5］·［10］＝ ，方程x2＝[1]的所有根为 。

5. 环Z6的全部零因子是 。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝ 在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分解α＝ = 。 得 分

1. 设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．

（１） 写出H＝< a>的所有元素．

（２） 计算H的所有左陪集和所有右陪集．

（３） 判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．

2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

- 1 -

评卷人 复查人 三、解答题（共3０分）

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）

1. 设G是一个阶为偶数的有限群，证明

（１） G中阶大于2的元素的个数一定为偶数； （２） G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。

3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

- 2 -

《近世代数》试卷2（时间120分钟）

一、填空题（共20分）

1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有 。

2. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ??, [11]｝中，［10］＋［5］＝ ，［10］·［5］＝ ，方程x2＝[1]的所有根为 。

－

4. 在5次对称群S5中，（12）（145）＝ ，（4521）1＝ ， （354）的阶为 。

5. 整环Z中的单位有 。

6. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝ 。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。

2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。

3. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

4. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。

5. （ ）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。 6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。

7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 8. （ ）模21的剩余类环Z21是域。

9. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 10. （ ）除环只有零理想和单位理想。 三、解答题（共30分）

1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？

2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。试问：H是否是G的子群？为什么？

- 3 -

3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。

四、证明题（共30分）

1. 设I1={4k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明： （1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。

2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。

3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。

- 4 -

《近世代数》试卷3（时间120分钟）

一、填空题（共20分）

1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有 。

2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

－

3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝ ，（4321）1＝ ， （132）的阶为 。

4. 整环Z中的单位有 。 5. 环Z6的全部零因子是 。

6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=< a3>的在G中的指数是 。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。

2. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。

3. （ ）素数阶群都是交换群。 4. （ ）循环群的商群是循环群。 5. （ ）模27的剩余类环Z27是域。

6. （ ）存在特征是2004的无零因子环。

7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 8. （ ）域是主理想整环。

9. （ ）域只有零理想和单位理想。

10. （ ）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。 三、解答题（共30分）

1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？

2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

- 5 -

3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。

四、证明题（共30分）

1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明： （1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。

2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。

3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。

- 6 -

《近世代数》试卷4（时间120分钟）

一、填空题（共20分，每空2分）

1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是 。 3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝ ，［6］·［7］＝ 。 4. 环Z6的全部零因子是 。 5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝ 。 6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是 。 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）交换群的子群是不变子群。

2. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。 3. （ ）无零因子环的特征不可能是2004。 4. （ ）有单位元且满足消去律的半群是群。 5. （ ）模21的剩余类环Z21是域。

6. （ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

7. （ ）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。 8. （ ）除环只有零理想和单位理想。 9. （ ）欧氏环是唯一分解整环。

10. （ ）无零因子环的同态象无零因子。 三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）

1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？

2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。

- 7 -

3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。

四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）

1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。

3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

- 8 -

《近世代数》试卷5（时间120分钟）

一、填空题（共20分，每空2分）

1. 在对称群S4中，（134）（12）＝ ，（2143）1＝ 。 2. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝ 。 3. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是 。 4. 在模6的剩余环Z6中，方程x2＝1的所有根为 。 5. 环Z10的所有零因子是 。

6. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

－

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）循环群的子群是循环群。

2. （ ）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。 3. （ ）交换群的子群是不变子群。

4. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。 5. （ ）模15的剩余类环Z15是域。 6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。

7. （ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。

8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 10. （ ）域是主理想整环。

三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）

1. 设H＝｛（1），（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？

2. 求模18的剩余类环Z18的所有理想。

- 9 -

3. 在整数环Z中，求由2004，125生成的理想（2004，125）。

四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）

1. 设～是整数集Z上的模6同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

2. 设H1和H2分别是群（G，?，e）的子群，并且| H1 |＝m，| H2 | ＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝。

3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。

- 10 -

《近世代数》试卷6

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设有集合A和B，|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。

2、设G=(a)是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为_________.

)的阶是______,3、在5次对称群S5中，(12)(135)?_____,(5132。 (43125)?1?_______4、在模13的剩余类环Z13的多项式环Z13[x]中，([7]x?[3])13?_______。 5、在模6的剩余类环Z6中，方程x?[1]的所有根是__________.

二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）模99的剩余类环Z99是域。

2、（ ）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。 3、（ ）域有且仅有两个理想。

4、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 5、（ ）无零因子环的特征不可能是93。 6、（ ）无零因子环的同态象无零因子。 6、（ ）欧氏环一定是唯一分解整环。 8、（ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 9、（ ）循环群有且仅有一个生成元。 10、（ ）循环群的子群是不变子群。 三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

1、设H?{(1),(12)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是

2S3的不变子群？为什么？

2、设a,b是群G的两个元，ab?ba,a的阶是m，b的阶是n，m,n有限且

(m,n)?1,H?(a),K?(b)，求H?K。

- 11 -

3、求模12的剩余类环Z12的所有理想。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、证明：在整数环Z中由34和93生成的理想(34,93)就是Z本身。

2、设H是群G的子群，对a,b?G，定义a～b?ab?H，证明：～是G上的一个等价关系。

3、设R1,R2都是环，?是环R1到R2的满同态映射，01和02分别是环R1和R2的零元，

?1N?ker??{x|x?R1,?(x)?02}，证明：?是同构映射当且仅当N?{01}。

- 12 -

《近世代数》试卷7

一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。 2、（ ）设G是群，A是G的不变子群，B是A的不变子群，则B是G的不变子群。 3、（ ）循环群的商群是循环群。 4、（ ）素数阶的群都是交换群。 5、（ ）存在特征是2007的无零因子环。 6、（ ）有乘法单位元的环的同态象也有乘法单位元。 7、（ ）满足左、右两个消去律的有单位元的半群是群。 8、（ ）域只有零理想和单位理想。 9、（ ）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。 10、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

二、填空题（每空2分，共20分）

1、 设有集合A和B，|A|=|B|=3,则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，

_____个满射，______个双射。 2、 设群G是12阶群，G中元素a的阶是6，则元素a的阶是______，子群H?(a)在G中的指数是______.

3、 整数环Z中的单位有________.

4、 模6的剩余类环Z6的所有零因子是_________.

5、Z13是模13的剩余类环，在一元多项式环Z13[x]中，([3]x?[6])13?_________. 6、_______是整数环的商域.

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

1、设H?{(1),(23)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是

23S3的不变子群？为什么？

2、求模12的剩余类加群Z12的所有子群。

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3、在整数环Z中，求由182和51生成的理想A?(182,51)。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、设Z是整数集，A?{3k|k?Z},B?{2k|k?Z},证明：（1）A,B都是整数环Z的理想；（2）A?B是Z的由6生成的主理想（6）。

2、设G和H是两个群，f是群G到H的满同态映射，B是H的子群，试证明：

A?{a|a?G,f(a)?B}是G的子群。

3、设Z是整数环，证明：多项式环Z[x]能与它的一个真子环同构。

- 14 -

《近世代数》试卷8

一、填空题（每空2分，共20分）

1、4次对称群S4的阶是____，在S4中，(14)(312)=_______,(1423)

?1=_______, 元素(132)的

阶是______.

2、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____. 3、模6的剩余类环Z6的全部零因子是__________.

4、在模12的剩余类环Z12中，[6]+[8]=_______,[8][6]=_______.

5、Z17是模17的剩余类环，在一元多项式环Z17[x]中，([6]x?[8])17?_________. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）交换群的子群是不变子群。 2、（ ）若H1,H2是群G的子群，则H1?H2也G是的子群。 3、（ ）任意两个循环群同构。 4、（ ）模27的剩余类环Z27是域。

5、（ ）一个阶是19的群只有两个子群。 6、（ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。 7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 8、（ ）域是唯一分解环。 9、（ ）存在特征是143的无零因子环。 10、（ ）只有零理想和单位理想的环是域。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H1、设H?{(1),(123是否是S3的不变子群？为什么？

2、求模12的剩余类环Z12的所有理想。

- 15 -

3、设G是交换群，e是G的单位元，n是正整数，H?{a|a?G,an?e},问：H是否是G的子群？为什么？

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、证明：整数环Z中由34和15生成的理想（34，15）就是Z本身。

2、设G和H是两个群，eG和eH分别是G和H的单位元，f是群G到H的满同态映射，

B是H的子群，证明：A?{a|a?G,f(a)?B}是G的子群。

3、设S是环(R,?,?,0,1)的子环，N是R的理想且S?N?{0}，证明：剩余类环R环与S同构。

N有子

- 16 -

《近世代数》试卷9

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设G=(a)是15阶循环群，则G的子群的个数为_________. 2、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____. 3、4次对称群S4的阶是___，在S4中，(134)(12)=_______,(1324)是______.

4、在剩余类环Z18中，[11]+[8]=_______,[5][6]=_______.

5、整数环Z上的一元多项式环Z[x]中的理想_______不是一个主理想. 6、_______是整数环Z的一个商域. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是13的群只有两个子群。 2、（ ）交换群的子群是不变子群。 3、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。 4、（ ）无零因子环的特征不可能是2007。 5、（ ）群G的指数是2的子群一定是不变子群。 6、（ ）模15的剩余类环Z15是域。

7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 8、（ ）除环的中心是域。 9、（ ）欧氏环一定是主理想整环。 10、（ ）无零因子环的同态象无零因子。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

1、设H?{(1),(13)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是

?1=_______,元素(1234)的阶

S3的不变子群？为什么？

2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。

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3、在整数环Z中，求由2007和5生成的理想（2007，5）。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、设～是整数环Z上的模5同余关系，试证明：～是Z上的一个等价关系并写出这个等价关系所决定的等价类。

2、设R1,R2都是环，f是环R1到R2的满同态映射，B是R2的理想，试证明：

A?{a|a?R1,f(a)?B}是R1的理想。

3、证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

- 18 -

《近世代数》试卷10

一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）若A,B都是群G的子群，则A?B也是G的子群。 2、（ ）交换群的子群是循环群。 3、（ ）循环群的同态象是循环群。 4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。 5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、（ ）存在特征是1005的无零因子环。 7、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。 8、（ ）域是主理想整环。 9、（ ）模2007的剩余类环Z2007是域。

10、（ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 二、填空题（每空2分，共20分）

1、设G=(a)是10阶循环群，则G的子群的个数为_________. 2、在5次对称群S5中，(13)(125)?_____,(15423)?1?______.

3、设有集合A和B，|A|=2,|B|=3,则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。

4、模6的剩余类环Z6的全部零因子是___________.

5、设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想且I?R，则R的一个_______.

6、在多项式环Z11[x]中，([6]x?[2])11?__________。 三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

I是域当且仅当I是R),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H1、设H?{(1),(123是否是S3的不变子群？为什么？

2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。

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3、设H是群G的子群，对a,b?G，定义a～b?ba?H，试问：～是否是G上的等价关系？为什么？

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、证明：在整数环Z中由26和33生成的理想（26，33）就是Z本身。

2、设G1,G2是两个群，f是群G1到G2的满同态映射，B是G2的子群，试证明：

?1A?{a|a?G1,f(a)?B}是G1的子群。

3、设S是环(R,?,?,0,1)的子环，N是R的理想且S?N?{0}，证明：剩余类环R环与S同构。

N有子

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