x1+x2+x3?7+9+11=27>10
故不定方程?没有解，即
p3=| A1?A2?A3|=0
所以，不定方程?、也即不定方程?的解的数目为：
q0=|A1?A2?A3|= p0-p1+ p2- p3=66-13+0-0=53 。
方法二：利用母函数方法 不定方程?对应的母函数是：
(1+x+x2+x3+x4+x5+x6)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)
=(1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6+7x7+7x8+6x9+5x10+4x11+3x12+2x13+x14) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)
不定方程?的解的数目为上述母函数中x10的系数： 1?1+2?1+3?1+4?1+5?1+6?1+7?1+7?1+7?1+6?1+5?1 =1+2+3+4+5+6+7+7+7+6+5 =53 。
3.23.求满足下列条件：
?x1+x2+x3=40 ??6? x1?15，5? x2?20，10? x3?25
的整数解的数目。
?
[解].(仿3.22题)方法一.利用容斥原理二，不定方程?与如下的不定方程?等价：
???x1+x2+x3=19
0? x1 ?9，0? x2 ?15，0? x3 ?15
?
??1?x1?6?(这可通过作变换??2?x2?5来实现)。
???x?103?3对应于不定方程?的不受限的不定方程为：
?x1+x2+x3=19
??x1?0，x2?0，x3?0
【第 13 页 共 42 页】
?
设：X={x|x=(x1,x2 ,x3)是不定方程?的解};
A1={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x1?9+1=10}; A2={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x2?15+1=16}; A3={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x3?15+1=16}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目：
?3?19?1??21??21?21?20p0=|X|=??19??=??19??=??2??=2?1=210
??????A1对应的不定方程是：
???x1+x2+x3=19 x1?10，x2?0，x3?0
??1?x1?10?令：??2?x2 (?1?0, ?2?0, ?3?0)。利用?我们得到：
???x3?3?1+?2+ ?3=( x1-10)+ x2+ x3=( x1+x2+x3)-10=19-10=9 所以不定方程?的解与下列不定方程：
??1+?2+ ?3=9 ????0, ??0, ??0
1
2
3
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A1|=??同理可得：
|A2|=???3?9?1??11??11?11?10??=??9??=??2??=2?1=55 9???????3?(19?16)?1??5??5?5?4???=?=?==10 ?????19?16???3??2?2?1?3?(19?16)?1??5??5?5?4??=??3??=??2??=2?1=10因此p1=|A1|+|A2|+|A3|=55+10+10=75 19?16??????|A3|=??A1?A2对应的不定方程是：
?x1+x2+x3=19
??x1?10，x2?16，x3?0
由于解若满足条件x1?10，x2?16，x3?0，则有 x1+x2+x3?10+16+0=26>19
故不定方程?没有解，即
|A1?A2|=0
同理可得：|A1?A3|=0，|A2?A3|=0
因此p2=|A1?A2|+|A1?A3|+|A2?A3|=0+0+0=0
【第 14 页 共 42 页】
A1?A2?A3对应的不定方程是：
x1?10，x2?16，x3?16
由于解若满足条件x1?10，x2?16，x3?16，则有
x1+x2+x3?10+16+16=42>19
故不定方程?没有解，即
p3=| A1?A2?A3|=0
所以，不定方程?、也即不定方程?的解的数目为：
q0=|A1?A2?A3|= p0-p1+ p2- p3=210-75+0-0=135 。
方法二：利用母函数方法 不定方程?对应的母函数是：
(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15)2
???x1+x2+x3=19
1?x10?1?x16?(1?x10)(1?2x16?x32)??? ?3??1?x?1?x?(1?x)2??2??3??4?2??n?2?n?????????x?x???x??=(1-x-2x+2x+x-x)?????? ?2??2?22??????????10
16
26
32
42
(参见第三版习题2.16(P199)或第二版第二章习题7(P131))
不定方程?的解的数目为上述母函数中x19的系数：
1???=
?21??11??5??????-1?-2? ??????2??2??2?21?2011?105?4--2?
2?12?12?1=210-55-20 =135 。
3.24.求满足下列条件的整数解的数目：
?x1+x2+x3+x4=20
??1? x1?5，0? x2?7，4? x3?8，2? x4?6。
[解].(仿题3.22)方法一：利用容斥原理二，不定方程?与如下的不定方程?等价：
?x1+x2+x3+x4=13 ??0? x1?4，0? x2?7，0? x3?4，0? x4?4
【第 15 页 共 42 页】
??1?x1?1???x?22(这可通过作变换?来实现)。
??3?x3?4???4?x4?2对应于不定方程?的不受限的不定方程为：
x1?0，x2?0，x3?0，x4?0
设：X={x|x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程?的解};
A1={ x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程?的解且x1?4+1=5}; A2={ x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程?的解且x2?7+1=8}; A3={ x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程?的解且x3?4+1=5}; A4={ x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程?的解且x4?4+1=5}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目：
???x1+x2+x3+x4=13
p0=|X|=???4?13?1??16??16?16?15?14???=?=?==560 ?????3?2?1?13??13??3?A1对应的不定方程是：
???x1+x2+x3+x4=13 x1?5，x2?0，x3?0，x4?0
??1?x1?5???x?22令：? (?1?0, ?2?0, ?3?0, ?4?0)。利用?我们得到：
??x3?3???4?x4?1+?2+ ?3+?4=( x1-5)+ x2+ x3+x4=( x1+x2+x3+x4)-5=13-5=8
所以不定方程?的解与下列不定方程：
????1+?2+?3+?4=8 ?1?0, ?2?0, ?3?0, ?4?0
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A1|=??同理可得：
|A2|=???4?8?1??11??11?11?10?9??=??8??=??3??=3?2?1=165 8???????4?(13?8)?1??8??8?8?7?6???=?=?==56 ?????13?8???5??3?3?2?1【第 16 页 共 42 页】