|A3|=
8!7!－=1120－140=980 3!3!3!3! 因为A1∩A2为aa,bb图象都出现的排列集合，当我们将aa与a,bb与b看作
不同的两对元素进行排列时，在aa与a相遇而成aaa图象及bb与b相遇而成bbb图象时会产生重复计数。 当aaa图象与bbb图象恰出现一个时，重复因子为2；当图象aaa与图象bbb
同时出现时，重复因子为4 。 设 q1(x)：排列x 中aa与a相遇而有aaa图象 q2(x)：排列x 中bb与b相遇而有bbb图象
故 B1={x |x∈A1∩A2∩q1(x)} B2={x |x∈A1∩A2∩q2(x)} 于是 |B1| = |B2| =
6!5! =120 |B1∩B2| = =20 3!3! P1 = |B1| + |B2| =2×120 =240 P2 = |B1∩B2 |=20 q1=P1－2P2 =240－2×20=200 q2=P2=20 从而 |A1∩A2| =
7!－（q1+3q2）=840－(200+3×20)=580 3!同理，|A1∩A3 | =580 |A2∩A3 |=580
因为A1∩A2∩A3为aa，bb，cc图象出现的排列集合，当我们将aa与a，bb与b，cc与c看作不同的三对元素进行排列时，在aa与a相遇而成aaa图象，bb与b相遇而成bbb图象，cc与c相遇而成ccc图象时会产生重复计数。 当aaa，bbb，ccc图象恰出现一个时，重复因子为2 当aaa，bbb，ccc图象恰出现两个时，重复因子为4 当aaa，bbb，ccc图象恰同时出现时，重复因子为8 设 q1(x)；排列x中有aaa图象 q2(x)；排列x中有bbb图象 q3(x)；排列x中有ccc图象
Bi={x |x∈A1∩A2∩A3∩qi(x)} (1≤i≤3)
|B1| =|B2|=|B3|=5! |B1∩B2|=|B1∩B3|=|B2∩B3|=4!=24
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|B1∩B2∩B3|=3!=6
P1=|B1|+|B2|+|B3|=3×120=360
P2=|B1∩B2|＋|B1∩B3|＋|B2∩B3|=3×24=72 P3=|B1∩B2∩B3|=6
q1=P1－2P2+3P3=360－2×72＋3×6=234 q2=P2－3P3=72－3×6=54 q3=P3=6
因此 |A1∩A2∩A3| = 6！－（q1＋3q2＋7q3）=720－(234+3×54+7×6)=282 所以 |A1∩A2∩A3| =|Z|-（|A1|+|A2|＋|A3|）+（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|） －|A1∩A2∩A3| = 1680－3×980＋3×580－282=198 即 相邻两元素不相同的排列数为198
3.21 求出O（0，0）点到（8，4）点的路径数，已知（2，1）到（4，1）的线
路，（3，1）到（3，2）的线路被封锁。
【解】：令P（8，4），A（2，1），B（4，1），C（3，1），D（3，2） P1（x）：线段AB在从O到P的路径X上 P2（x）：线段CD在从O到P的路径X上
Ai={x|x∈Z∩qi(x)} (1≤i≤2) Z={从O到P的路径}
?8?4??12?12?11?10?9? |Z|=??4?=??4??=4?3?2?1=495 ?????2?1??(8?4)?(4?1)??3??7?7?6?5??????? |A1| = ?·==3×=1?1??4?1??1??3?3?2?1????????
?3?1??(8?3)?(4?2)??4?? |A2| = ??4?2?= ??1??·??1?????????7?7?6??=4·=84 ?2?2?1??【第 10 页 共 42 页】
|A1∩A2| = 0
故此 |A1∩A2| =|Z|－（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|=495－（105+84）+0=306 因此，从O到P的路，不过线段AB和CD的有306条。
3.22.求满足条件：??x1+x2+x3=20
?3? x1?9，0? x2?8，7? x3?17
的整数解的数目。 [解].方法一：利用容斥原理二
不定方程?与如下的不定方程?等价：
??x1+x2+x3=10 ?0? x1?6，0? x2?8，0? x3?10
??1?x1?3(这可通过作变换???2?x2来实现)。
???3?x3?7对应于不定方程?的不受限的不定方程为：
??x1+x2+x3=10
?x1?0，x2?0，x3?0
设：X={x|x=(x1,x2 ,x3)是不定方程?的解};
A1={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x1?6+1=7}; A2={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x2?8+1=9}; A3={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x3?10+1=11};
因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目：
p?3?10?1??12??12?12?110=|X|=???10???=???10???=???2???=2?1=66 A1对应的不定方程是：
??x1+x2+x3=10 ?x1?7，x2?0，x3?0
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??1?x1?7令：???2?x2 (?1?0, ?2?0, ?3?0)。利用?我们得到：
???3?x3?1+?2+ ?3=( x1-7)+ x2+ x3=( x1+x2+x3)-7=10-7=3 所以不定方程?的解与下列不定方程：
???1+?2+ ?3=3 ??1?0, ?2?0, ?3?0
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：|A?3?3?1?1|=???3???=??5???5?5?4?3???=???2???=2?1=10 同理可得：
|A?3?(10?9)?1?2|=???10?9???=??3???1???=3 A3对应的不定方程是：
??x1+x2+x3=10
?x1?0，x2?0，x3?11
由于解若满足条件x1?0，x2?0，x3?11，则有 x1+x2+x3?0+0+11=11>10
故不定方程?没有解，即
|A2|=0
因此p1=|A1|+|A2|+|A3|=10+3+0=13 A1?A2对应的不定方程是：
??x1+x2+x3=10
?x1?7，x2?9，x3?0
由于解若满足条件x1?7，x2?9，x3?0，则有
x1+x2+x3?7+9+0=16>10
故不定方程?没有解，即
|A1?A2|=0
同理可得：|A1?A3|=0，|A2?A3|=0
因此p2=|A1?A2|+|A1?A3|+|A2?A3|=0+0+0=0
A1?A2?A3对应的不定方程是：
??x1+x2+x3=10 ?x1?7，x2?9，x3?11
由于解若满足条件x1?7，x2?9，x3?11，则有
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