|A1∩A2|=(40+1)(30+1)=1271

于是 |A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∪A2|=1681+1891-1271=2301 因此，能至少除尽1040和2030之一的正整数的数目是2301 。 3.17.n是除尽1060,2050,3040中至少一个数的除数，求n的数目。 [解]. 定义： P1(x):x|1060 A1={x|x?N∩P1(x)}

P2(x):x|2050 A2={x|x?N∩P2(x)} P3(x):x|3040 A3={x|x?N∩P3(x)}

由于 1060=(2×5)60=260×560 2050=(22×5)50=2100×550 3040=(2×3×5)40=240×340×540 故此： |A1|=(60+1)(60+1)=3721 |A2|=(100+1)(50+1)=5151 |A3|=(40+1)(40+1)(40+1)=68921 |A1∩A2|=(60+1)(50+1)=3111 |A1∩A3|=(40+1)(40+1)=1681 |A2∩A3|=(40+1)(40+1)=1681 |A1∩A2∩A3|=(40+1)(40+1)=1681 根据容斥原理，有

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)- (|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)+|A1∩A2∩A3| =(3721+5151+68921)-(3111+1681+1681)+1681 =73001

所以，至少能整除1060,2050,3040之一的正整数n有73001个 。

3.18 求下列集合中不是n2，n3形式的数的数目，n∈N 。

（a）{1，2，??，104} （=N1） （b）{103，103+1，??，104} （=N2）

【第 5 页 共 42 页】

【解】：（a）定义：P1（x）:x=n2（n∈N） A1=｛x|x∈N1∩P1(x)｝ P2（x）:x=n3（n∈N） A1=｛x|x∈N2∩P2(x)｝

A1={12，22，??，(102)2}?N1 故|A1|=102=100 A2={13，23，??，213}?N1 故|A2|=21 （因为213=9261＜104＜10648=223）

A1∩A2={16，26，36，46}?N1，故|A1∩A2|=4 （因为46=4096＜104＜15625=56） 因此，根据容斥原理，有

|A1∩A2|=|N1|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2| = 104－（100+21）+4 =9883

（b）定义：P1（x）:x=n2（n∈N） A1=｛x|x∈N1∩P1(x)｝ P2（x）:x=n3（n∈N） A1=｛x|x∈N2∩P2(x)｝

A1={312，??，(102)2}?N2 故|A1|=100-30=70 （因为312=961＜103＜1024=322）

A2={103，??，213}?N2 故|A2|=21-9=12

A1∩A2={46}?N2 故|A1∩A2|=1

【第 6 页 共 42 页】

（因为36=729＜103＜46=4096＝ 因此，根据容斥原理，有

|A1∩A2|=|N1|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|

= 9001－（70+12）+1 = 8920

3.19 {1000，1001，??，3000}，求其中是4的倍数但不是100的倍数的数的

数目。

【解】： 令N1={1000，1001，??，3000}，则 |N1|=2001 P1（x）:4|x A1=｛x|x∈N1∩P1(x)｝ P1（x）:100|x A1=｛x|x∈N2∩P2(x)｝ 于是由 A1={4·250，4·251，??，4·750}?N1，

故 |A1|=750－250+1=501，

A1∩A2={100·10，100·11，??，100·30}?N1， 故 |A1∩A2|=30－10+1=21

因此 |A1∩A2|=|A1|－|A1∩A2|=501－21=480

所以，1000～3000中只能被4整除，但不能被100整除的数有480个。

3.20 在由a,a,a,b,b,b,c,c,c组成的排列中，求满足下列条件的排列数，

（a）不存在相邻3元素相同 （b）相邻两元素不相同

【解】：（a）定义：Z={9个元素的全排列}，|Z|=

9！=1680 3！3！3！ P1(x)：排列x 中有相邻三元素相同，且是a

【第 7 页 共 42 页】

P2(x)：排列x 中有相邻三元素相同，且是b

P3(x)：排列x 中有相邻三元素相同，且是c

A1={x |x∈Z∩P1(x)} |A1 |=

7!=140 3!3!7!=140 3!3! A2={x |x∈Z∩P2(x)} |A2 |=

A3={x |x∈Z∩P3(x)} |A3 |=

7!=140 3!3! |A1∩A2|=

5!5!=20 |A1∩A3|==20 3!3!5!=20 |A1∩A2∩A3|=3！=6 3! |A2∩A3|=

于是，根据容斥原理，有

|A1∩A2∩A3|=|Z|－（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|） －|A1∩A2∩A3| =1680－3×140＋3×20－6=1314 （b）定义：Z={9个元素的全排列}，|Z|=

9！=1680 3！3！3！ P1(x)：排列x 中有相邻两个元素相同，且是a P2(x)：排列x 中有相邻两个元素相同，且是b

P3(x)：排列x 中有相邻两个元素相同，且是c

Ai={x|x∈Z∩Pi(x)} (1≤i≤3)

|A1|=

8!7!－=1120－140=980 3!3!3!3!(因为将aa与a看做为不同的两个元素参与排列，在它们相遇之时会产生重复，其重复因子刚好是将aaa看作一个整体参与排列的个数)

同理可得：|A2|=

8!7!－=1120－140=980 3!3!3!3!【第 8 页 共 42 页】