3ππtan－tan

8π28

α－?＝解法2 tan? ?8?32π

1＋tan28ππsincos88

＝＝ 2π2π2π2＋3tan2cos＋3sin888

sin

＝

π

4

πtan8

ππ1＋cos?＋3?1－cos?2?4??4??

＝

1＋5221

＝＝. 4910－252－1

解后反思 有时，“硬做”也是必须的．

π6

【变式5】(2019通州、海门、启东期末）设α∈?0，?，已知向量a＝(6sinα，2)，b＝?1，cosα－?，

3??2??且a⊥b.

π

(1) 求tan?α＋?的值；

6??7π

(2) 求cos?2α＋?的值．

12??

规范解答. (1) 因为a＝(6sina，2)，b＝?1，cosα－

?

6?

，且a⊥b. 2?

π6所以6sina＋2cosα＝3，所以sin?α＋?＝.2分

6?4?ππππ

因为α∈?0，?，所以α＋∈?，?，(4分)

6?62?3??π10

所以cos?α＋?＝，

46??π

故sin?α＋?＝

6??

π6

1－cos2?α＋?＝ 6?4?

π15α＋?＝所以tan?.(6分) 6??5

π?π?110?2??2?(2) 由(1)得cos2α＋＝2cosα＋－1＝2×－1＝.(8分)

43?6????4?πππ

因为α∈?0，?，所以2α＋∈?，π?，

3?33???π15所以sin?2α＋?＝.(10分)

43??

ππ7πππ

所以cos?2α＋?＝cos?2α＋?cos－sin?2a＋?sin(12分)

412?3?3?4???＝

2－30

.(14分) 8

题型二 运用两角和与差的正弦、余弦、正切的公式求角

知识点拨：求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．

π43

例1、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈?0，?.

72??

π

(1) 求sin?＋α?的值；

?4?

π11

(2) 若cos(α＋β)＝，β∈?0，?，求β的值．

142??规范解答 (1) 由cosα＝

π43

，α∈?0，?， 72??

43?11－?＝.(2分) ?7?7

2得sinα＝1－cosα＝

2πππ

所以sin?＋α?＝sincosα＋cossinα(4分)

44?4?＝

2432146＋2×＋×＝.(6分) 272714

π

(2) 因为α，β∈?0，?，所以α＋β∈(0，π)．

2??11

又cos(α＋β)＝，则sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝

14

11?531－?＝.(8分) ?14?14

2所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα(10分) ＝

53431111

×－×＝.(12分) 1471472

ππ

因为β∈?0，?，所以β＝.(14分)

62??

【变式1】(2018南京三模）在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半2733

轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为7，点Q的纵坐标为14．

（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值

【变式2】(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝31025

角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是. 105

(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．

310

规范解答 因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，

10310

所以由任意角的三角函数的定义可知cosα＝，

10从而sinα＝1－cos2α＝

10

.(2分) 10

2525

因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以sinβ＝，

55从而cosβ＝－1－sin2β＝－

5.(4分) 5

310?102525

(1) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×－?＋×＝－.(8分)

10510?5?10(2) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝

10?2531025×－?＋×＝.(11分) 10?5?1052

π3π?因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈??2，2?， 3π

所以α＋β＝.(14分)

4

题型三 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合运用 知识点拨：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

π

例1、(2019南京、盐城二模）设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ>0，0<α<β<，且

2a＋b与a－b互相垂直．

(1) 求实数λ的值；

4

(2) 若a·b＝，且tanβ＝2，求tanα的值．

5

规范解答 (1)由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.(2分)

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分) π

因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.

2又因为λ>0，所以λ＝1.(6分)

444

(2)由(1)知a＝(cosα，sinα)．由a·b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝.(8分)

555ππ

因为0<α<β<，所以－<α－β<0，

22

3

所以sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－.(10分)

5