(2) |f|?0?Kerf?{0}。 3) 设A,B都是正定矩阵，证明 (1) 方程|XA?B|?0的根都大于零； (2) 方程|XA?B|?0的根都等于1?A?B。
2005年
1. 填空题
1) 设f(x)?x4?2x3?3x2?4x?2?Q[x]，f(x)在Q[x]中的所有不可约因式是 ；
2) 已知实3阶方阵A?(aij)满足aij??Aij,i,j?1,2,3(Aij表示元素aij的代数余子式)，且a11?0，则detA? ；
3) 设?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1的秩等于 ；
4) 设?是向量空间V的一个线性变换，如果?在V的一组基?1,?2,?3下的
?010???矩阵是?001?，写出V的所有?不变子空间 。
?000???2. 计算题
1) 计算n阶行列式的值
x1?a1Dn?x2???xn?1xnx1x2?a2???xn?1xn????????????x1x2???xnx1x2???xn?1xn?an
???xn?1?an?1其中a1a2???an?0。
2) 试求作一个齐次线性方程组，使它的解空间由下列4个向量生成：
?1?(?1,?1,1,2,0)T，?2?(,?,,6,4)T
121122 13
?3?(,0,0,,1)T，?4?(?1,?2,2,9,4)T
其中，?T表示?的转置。
223) 已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)，通过正交变换22化成标准型f(y1,y2,y3)?y12?2y2，求出参数a及所用的正交变换矩阵。 ?5y314543. 判断下列命题的正确性，并请说明理由或举出反例。
1) 设(f(x),g(x))?d(x)，则满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和
v(x)只有一对，其中(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式。
2) 设有n个未知量n?1个方程的线性方程组
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ????????????????????????????????????an?1,1x1?an?1,2x2?????an?1,nxn?bn?1有解，则行列式
a11a21???an?1,1a12a22???an?1,2?????????a1na2n???b1b2?0 ???bn?1???an?1,n反之也成立。
3) A,B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征多项式，则A与B相似。 4) 设实二次型f(x1,x2,???,xn)的秩为n，则f(x1,x2,???,xn)一定是正定的。 4. 证明题
1) 设f(x)是整系数多项式，f(1)?f(2)?f(3)?p(p是整数)，证明不存在整数m，使得f(m)?2p。
2) 设A是一个n阶方阵，则A2?I的充分必要条件是秩(A?I)?秩
(A?I)?n(其中I为n阶单位阵)。
3) 设?1,?2,???,?m，?1,?2,???,?m是n维欧氏空间V中的两组向量，证明存在
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正交变换f，使得f(?i)??i,i?1,2,???,m的充分必要条件是
(?i,?j)?(?i,?j),i,j?1,2,???,m，其中(?,?)表示向量?与向量?的内积。
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广州大学 2003年
1．令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果?1,?2,???,?s分别是属于?的互不相同的特征根?1,?2,???,?s的特征向量，那么?1,?2,???,?s线性无关。
2．设f(x)?(x?a1)(x?a2)???(x?an)?1，其中a1,a2,???,an为互异的整数，求证f(x)在Q[x]中不可约。
3．数域F上n维向量空间V的一个线性变换?满足?2??(单位变换)，证明V?V1?V?1，这里V1和V?1分别是属于特征根?1的特征子空间。
4．已知实矩阵A?(aij)3?3满足条件
(1) aij?Aij(i,j?1,2,3)其中Aij为aij的代数余子式； (2) a11?0； 试求行列式|A|。
5．设?0,?1,???,?n?r为AX?b(b?0)的n?r?1个线性无关的解向量，秩
A?r，求对应的齐次线性方程组AX?0的一个基础解系。
6．k取怎样的数值时，线性方程组
?kx1?x2?x3?1??x1?x2?kx3?k ?2x?x?kx?k123?有唯一解，没有解，有无穷多解？
?611???7．设A??161?，求正交矩阵U，使U'AU为对角矩阵。
?116???8．设n元实二次型f(x1,x2,???,xn)?X'AX，A为实对称矩阵，
X?(x1,x2,???,xn)，证明f在条件?xi2?1下的最大(小)值恰为A的最大(小)的
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