?x1?x3?x5?0?x?x?0?24 ??x1?x2?x5?0??x1?x4?x5?0的解空间的一组标准正交基。
6. 若Bn?m?Am?n?En，则称Bn?m是Am?n的一个左逆，证明 (1) Am?n有左逆的充要条件是Am?n的列向量线性无关； (2) Am?n的左逆唯一当且仅当Am?n可逆。
7. 设A,B为n阶方阵，且存在可逆阵P使B?P?1AP，证明 (1) A,B有相同的特征值；
(2) A,B相同的特征值的特征子空间的维数相等。
8. 设V为n维线性空间，?是V上的线性变换，证明?是数乘变换充要条件是V中每个一维子空间都是??子空间。
9. 设A为实満秩方阵，求证 (1) AA'正定；
(2) 存在正交阵P,Q使P?1AQ?diag(?1,?2,???,?n)，其中?i?0,i?1,2,???,n。 10. 设A为n阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵B与幂零矩阵C使
A?B?C且BC?CB。
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广西师范大学 2003年
1. 计算题
1) 求n阶行列式Dn的值
xzDn?zyxzyyx?????????yyy
???????????????zzz???x?1?1?1???3?，设?是F3的一个2) 令F3表示数域F上三元列空间，取A??11?137???线性变换，对任意??F3，有?(?)?A?，求Ker(?)，Im(?)及它们的维数。
?1c??a??b3?，3) 设矩阵A??5又|A|??1，A?有一个特征值?0，且属于?0?1?c0?a?????1???的一个特征向量为??1?，求a,b,c,?0的值。
?1???2. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。 1) 设A,B,C是三个n?n矩阵，若C?O，且AC?BC，则A?B； 2) 若n阶行列式D?0，则D中一定有一行是其余各行的线性组合； 3) 若欧氏空间中的向量?1,?2,???,?r构成一个正交组，则?1,?2,???,?r一定线性无关；
4) 用正交变换方法将一个实二次型f(x1,x2,???,xn)化为标准型，此标准型是唯一的。
3. 设f(x),g(x)是有理数域上的多项式，已知f(x)不可约且f(x)的一个根(在复数域内的根)也是g(x)的根，证明f(x)的所有根都是g(x)的根。
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4. 设在实平面上有三条不同的直线
l1:ax?by?c?0，l2:bx?cy?a?0，l3:cx?ay?b?0
证明它们相交于一点的充要条件是a?b?c?0。
5．设?是向量空间V的线性变换，且?2??，但?不是恒等变换?。令
U?{v?V|?(v)?v}，W?{v?V|?(v)??v}
证明U,W都是V的子空间，且V?U?W。
6．证明每个循环群都同构于整数加群Z的一个商群。
7．假定H?G,N?G，令HN?{hn|h?H,n?N}，证明HN?G。 8．证明整数环Z的一个理想I是最大理想当且仅当I是由一个素数生成的。 9．设I和J是环R的两个理想，且I?J，令J是R的理想且IIJR?R。
JI?{a?I|a?J}，证明JII2004年
1. 填空题
1) 若(x?1)2整除Ax4?Bx2?1，则A? ，B? ；
?101???2) 已知A??020?及A2B?A?B?E(E为单位矩阵)，则
??201???|B|? ；
3) 设?1,?2,?3是线性方程组AX?b的3个解向量，b?0，秩A?2，又
?0??0??1????????0??0??0??3??1???，?3??2???，?1??2???
010???????1??0??0???????则AX?b的通解为 。
4) 若向量组?1,?2,???,?s中的每个向量都可以由它的一个部分向量组
?i1,?i2,???,?it唯一地线性表示，那么向量组?1,?2,???,?s的秩是 。
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2. 计算题
1) 计算n阶行列式的值
a?bDn?aa???abb???bbba?bb???aa?b??????a???a
?????????a?b2) 设V?R4，W1?L(?1,?2,?3)，W2?L(?1,?2)，其中
?1??1020??2??2011??3??10?11??1??331?2??2??130?3?，求W1?W2与W1?W2的基和维数。
223) 已知实二次型f(x1,x2,x3)?2x12?2x1x2?2x1x3?2x2，求出?2x2x3?2x3正交变换X?UY，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形。
3. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。
1) F是数域，如果f(x)在F中没有根，则f(x)在F[x]中是不可约多项式。 2) A,B是两个m?n矩阵，如果齐次线性方程组Ax?0的解都是齐次线性方程组Bx?0的解，则秩A?秩B。
3) 如果向量组?1,?2,???,?r的每个向量都可以由向量组?1,?2,???,?s线性表示，当r?s时，?1,?2,???,?r一定线性相关。
4) V是一个欧氏空间，如果f是V的一个线性变换，且保持内积不变，即对于任意?,??V，有(f(?),f(?))?(?,?)，则f一定是正交变换。
4. 证明题
1) 证明多项式f(x)和g(x)互素的充分必要条件是对任意的正整数n，
fn(x)和gn(x)都互素。
2) V是数域F上的n维向量空间，f是V的线性变换。
(1) 取V的一个基?1,?2,???,?n，f在这个基下的矩阵为A，定义|f|?|A|，证明|f|的值与基的选择无关；
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