19．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示．

（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数； （2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 分组（单位：岁）

[20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 合计

频数 5 ① 35 30 10 100

频率 0.05 0.20 ② 0.30 0.10 1.00

解：（1）由频数分布表和频率分布直方图，得到： ①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．

根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）的人数为500×0.35＝175．（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，

则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，且 P（X＝0）＝

＝

，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝＝．

∴X的分布列为：

X P

∴E（X）＝0×

0 +1×

1 +2×

＝．

2

20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP

为直径的圆经过椭圆C的右焦点F． （1）求椭圆C的方程；

（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到 直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知c2﹣c+

＝0①…（1分）

，得

又点P在椭圆C上，∴b2+c2＝a2＝2③…

①③联立解得，c＝1，b2＝1… 故所求椭圆的方程为

+y2＝1…

?a2＝2②

（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理， 得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0（﹡） 方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0， 所以△＝0，得m2＝2k2+1…

假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由

＝||＝1对任意的实数k恒成立．

所以， 解得，或，

所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．… 21．函数f（x）＝

，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0

垂直（其中e为自然对数的底数）．

（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围； （2）求证：当x＞1时，

＞

．

解：（1）∵f′（x）＝，

，

f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣由切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直， 可得f′（e）＝﹣解得得a＝1，

，即有﹣

＝﹣

∴f（x）＝，f′（x）＝﹣（x＞0）

当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

∴x＝1是函数f（x）的极大值点 又f（x）在（m，m+1）上存在极值 ∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1

故实数m的取值范围是（0，1）； （2）不等式

＞

即为?＞

令g（x）＝则g′（x）＝

，

再令φ（x）＝x﹣lnx，则φ′（x）＝1﹣＝，

∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数， ∴φ（x）＞φ（1）＝1＞0，g′（x）＞0， ∴g（x）在（1，+∞）上是增函数， ∴x＞1时，g（x）＞g（1）＝2 故

＞

．

令h（x）＝，则h′（x）＝，

∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数 ∴x＞1时，h（x）＜h（1）＝

，

所以＞h（x），即＞．

请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修4一4：坐标系与参数方程]