带电粒子在磁场中的运动

【学习目标】

1．掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点和解决此类运动的方法 2．理解质谱仪和回旋加速器的工作原理和作用 【要点梳理】

要点一：带电粒子在匀强磁场中的运动 要点诠释： 1．运动轨迹

带电粒子（不计重力）以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中： （1）当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动； （2）当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动；

（3）当v与B的夹角为?（?≠0°，90°，180°）时，带电粒子将做等螺距的螺旋线运动．

说明：电场和磁场都能对带电粒子施加影响，带电粒子在匀强电场中只在电场力作用下，可能做匀变速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，只在磁场力作用下可以做曲线运动．但不可能做变速直线运动． 2．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

如图所示，带电粒子以速度v垂直磁场方向入射，在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子的质量为m，所带的电荷量为q．

mvv2（1）轨道半径：由于洛伦兹力提供向心力，则有qvB?m，得到轨道半径r?．

qBr （2）周期：由轨道半径与周期之间的关系T?2?m2?r可得周期T?．

qBv 说明：（1）由公式r?成正比．

（2）由公式T?mv知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率qB2?m知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率qB均无关，而与比荷

注意：r?q成反比． mmv2?m与T?是两个重要的表达式，每年的高考都会考查．但应用时应注意在计算说明qBqB题中，两公式不能直接当原理式使用．

要点二：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题分析

要点诠释：

1．分析方法

研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径R=mv／qB，三找周期T=2πm／Bq或时间”的基本方法和规律，具体分析为： （1）圆心的确定

带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键．首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上．通常有两种确定方法： ①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心）．

②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心）．

（2）运动半径的确定：

作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r?mv联立求解． Bq （3）运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为?时，其运动时间可由下式表示：t??360?T（或t??．可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长． T）2? 2．有界磁场

（1）磁场边界的类型如图所示

（2）与磁场边界的关系

①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

②当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． ③当速率v变化时，圆周角越大的，运动的时间越长． （3）有界磁场中运动的对称性

①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等； ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出． 3．解题步骤

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法——三步法： （1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．

（2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．

（3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．

注意：

（1）带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角?叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道PM对应的圆心角?，即???，如图所示．

（2）圆弧轨道PM所对圆心角?等于PM弦与切线的夹角（弦切角）?的2倍，即??2?，如图所示．

要点三：质谱仪

要点诠释： （1）构造

质谱仪由粒子注入器、加速电场、速度选择器、偏转电场和照相底片组成，如图所示．

（2）工作原理 ①加速：qU?12mv， 2v2 ②偏转：qvB?m，

r 由以上两式得：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径r?12mu。

Bqq2U?22或算出它的mBr 可见从粒子打在底片上的位置可以测出圆周半径r，进而可以算出粒子的比荷

qB2r2质量m?．

2U（3）应用：测定带电粒子的质量和分析同位素 要点四：回旋加速器

要点诠释：

（1）构造：回旋加速器是用磁场控制较适用电场进行加速的仪器．它由两个中空的半圆金属盒构成，两盒间留有缝隙置于真空中，如图所示．

（2）工作原理

回旋加速器的工作原理如图所示．放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0垂直进入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动．经过半个周期，当它沿着半圆A0A1时，我们在A1A1＇处设置一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1＇处受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动．我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆周运动．又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1＇A2＇到达A2＇时，我们在A2＇A2处设置一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2．如此继续下去，每当粒子运动到A1A1＇、A3A3＇等处时都使它受到一个向上电场的加速，每当粒子运动到A2＇A2、A4＇A4等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么，粒子将沿着图示的螺旋线回旋下去，速率将一步一步地增大． （3）回旋加速器的旋转周期

在A、A＇间处加一个交变电场，使它的变化周期等于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期

T?2?m，就可以保证粒子每经过A、A＇时都正好赶上适合的电场方向而被加速． Bq （4）带电粒子的最终能量

mv2qBr 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律qvB?，得v?，若D形盒

rm的半径为R，则r=R，带电粒子的最终动能 Emax2121?qBR?q2B2R2． ?mv?m????22?m?2m 说明：（1）使带电粒子在回旋加速器的金属盒中运动，是利用了金属盒的静电屏蔽作用，不受外界电

场干扰，带电粒子在金属盒内只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．

（2）回旋加速器中所加交变电压的频率为f，与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等：f?1qB． ?T2?m （3）要使粒子射出的动能Emaxq2B2R2?增大，就要使磁场的磁感应强度B以及D形盒的半径R增

2m大，而与加速电压U的大小无关（U≠0）．加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数，并不影响回旋加速后的最大动能．

（4）带电粒子在回旋加速器中的运行时间t等于带电粒子在磁场中的回旋时间t磁与在电场中的加速时间t电之和，即t?t磁?t电?nT?2nd2n?m4nmd??（式中n为回旋圈数，d为两D形盒的缝隙，R

qBqBRv为Q形盒的半径），因为两半圆形D型金属盒之间的缝隙很小，故带电粒子在电场中的加速时间可以忽略不计，故t?2n?m． qB （5）回旋加速器加速的带电粒子，能量达到25 MeV～30 MeV后就很难再加速了．原因是按照狭义相