解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝

b????π???π?

a2＋b2sin(2x＋φ)?其中tan φ＝a?，因为对一切x∈R，f(x)≤?f?6??恒成立，所以sin?3＋φ?

????????

π?π??11π??11ππ???7π??

＝±1，可得φ＝kπ＋6(k∈Z)，故f(x)＝±a2＋b2sin?2x＋6?.而f?12?＝±a2＋b2·sin?2×12＋6?＝0，所以①正确；?f?10??

???????????

＝??

47??

a2＋b2sin30π?＝?

??

17???π???a2＋b2sin30π?，?f?5??＝???????

17???7π????π??

a2＋b2sin30π?，所以?f?10??＝?f?5??，故②错误；③明显正确；④错

?????????

误；由函数f(x)＝

π??

a2＋b2sin?2x＋6?和f(x)＝－

??π??

a2＋b2sin?2x＋6?的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数

??

f(x)的图象不相交，故⑤错．

答案：①③

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【拔高】

6．设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

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π?2π?1?3?

解：(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2?sin ωx＋cos ωx?＝2sin?ωx＋3?.又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f(x)＝

ω??2?2?π?π?

2sin?2x＋3?，∴函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx的振幅为2，初相为3.

??

(2)列出下表

2x＋π3 0 π2 π 32π 2π x －πππ7π6 512 3 12 6π y＝2sin???2x＋π3??? 0 2 0 －2 0 23 / 27

描点画出图象如图．

π?π??π?(3)把y＝sin x图象上所有的点向左平移3个单位，得到y＝sin?x＋3?的图象，再把y＝sin?x＋3?的图象上所有点的横

????π?π?1??

2x＋2x＋???坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来3?的图象，然后把y＝sin?3???π??

的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin?2x＋3?的图象．

??

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