例4 在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若三角形的形状．
a＋bcos B＋cos A＝，试判断acos Bbcos A错解 由已知得1＋＝1＋，
acos B即acos A＝bcos B.
b2＋c2－a2a2＋c2－b2
由cos A＝，cos B＝，
2bc2acb2＋c2－a2a2＋c2－b2
得a·＝b·，
2bc2ac整理得c(a－b)＝a－b＝(a－b)(a＋b)， ∴c＝a＋b，
∴△ABC为直角三角形．
错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a－b)(a＋b－c)＝0得a＝b或a＋b＝c，而不是a＝b且a＋b＝
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c2.
bcos A正解 由已知得1＋＝1＋，
acos B即acos A＝bcos B.
b2＋c2－a2a2＋c2－b2
由cos A＝，cos B＝，
2bc2acb2＋c2－a2a2＋c2－b2
得a·＝b·，
2bc2ac整理得(a－b)(a＋b－c)＝0， 所以a－b＝0或a＋b－c＝0， 即a＝b或a＋b＝c.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
误区警示 在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性．
跟踪训练4 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
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解 (1)由2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得 2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a＝b＋c＋bc，
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b2＋c2－a2－bc1
由余弦定理得cos A＝＝＝－，
2bc2bc2
∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°. (2)由(1)得a＝b＋c＋bc，由正弦定理得 sinA＝sinB＋sinC＋sin Bsin C. 322
∴sinB＋sinC＋sin Bsin C＝，
4又sin B＋sin C＝1， 1
∴sin B＝sin C＝，
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∵B，C∈(0°，90°)，∴B＝C＝30°， ∴△ABC为等腰三角形．
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1．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( ) A．1＜c＜3 B．2＜c＜3 C.5＜c＜3 D．22＜c＜3 答案 C
解析 在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c＞a＋b＝1＋4＝5，即c＞5，又因c＜a＋b＝1＋2＝3，所以5＜c＜3.
2．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案 C
解析 ∵c＝2acos B，由正弦定理得 2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0， 又∵－π 2 2 2 →→ 3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6.则AB·BC的值为( ) A．19 B．14 C．－18 D．－19 答案 D 解析 由余弦定理的推论知： AB2＋BC2－AC219 cos B＝＝. 2AB·BC35 →→→→ 所以AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B) 19 ＝7×5×(－)＝－19，故选D. 354．在△ABC中，B＝60°，a＝1，S△ABC＝答案 2 1133 解析 S△＝acsin B＝·1·c·＝， 2222∴c＝2， 1222 ∴b＝a＋c－2accos B＝1＋4－2·1·2·()＝3， 2∴b＝3，∴ 3c，则＝________． 2sin Cb3 ＝＝＝2. sin Csin B3 2 abcc5．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是________三角形． cos Acos Bcos C答案 等边 解析 ∵＝， cos Acos B∴sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0， ∵A，B∈(0，π)，∴A－B∈(－π，π)， ∴A－B＝0，∴A＝B. 同理B＝C，∴A＝B＝C， ∴△ABC为等边三角形． ab 1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、 等边三角形等)． 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论． 2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．