习题课 正弦定理和余弦定理
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．
知识点一 正弦定理及其变形 1.
＝＝＝2R． sin Asin Bsin Cabc2．a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C．(化角为边) 3．sin A＝，sin B＝，sin C＝．(化边为角)
2R2R2R知识点二 余弦定理及其推论
abcb2＋c2－a2
1．a＝b＋c－2bccos__A，cos A＝．(边角互化)
2bc2
2
2
2．在△ABC中，c＝a＋b?C为直角，c>a＋b?C为钝角；c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
知识点三 解三角形的几类问题和解法
已知条件 一边和两角(如a，B，C) 应用定理 正弦定理 弦定理求出b与c 由余弦定理求第三边c，再由正弦两边及其夹角(如a，b，C) 余弦定理和正弦定理 定理求出第二个角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角 两边和其中一边所对的角正弦定理 (如a，b，B) 三边a，b，c 余弦定理 再由三角形内角和定理求第三个角 知识点四 三角形内的角的函数关系
在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有
(1)sin(A＋B)＝sin__C，cos(A＋B)＝－cos__C，tan(A＋B)＝－tan__C， (2)sin
180°求C，最后由正弦定理求c 先由余弦定理的推论求出两个角，由正弦定理求A，再由A＋B＋C＝一般解法 由A＋B＋C＝180°，求A，再由正A＋BCA＋BC＝cos ，cos ＝sin ． 2222
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值 4π
例1 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. 54(1)求AB的长；
?π?(2)cos?A－?的值．
6??
4
解 (1)由cos B＝，
532
则sin B＝1－cosB＝，
5π
又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，
4得
ACsin B＝ABπsin
4
，
6AB即＝?AB＝52. 3252
342
(2)由(1)得：sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，
55272
则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
10cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－π72－6
sin Asin＝.
620
反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化．
跟踪训练1 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝
22
，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________． 3
3
2π?π?，则cos?A－?＝cos Acos＋6?106?
答案
22
解析 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
3
22222
∴在△ABD中，有BD＝AB＋AD－2AB·AD·cos∠BAD＝18＋9－2·32·3·＝3.
3∴BD＝3.
题型二 判断三角形的形状
例2 在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
a2＋c2－b2
解 由余弦定理知cos B＝，
2aca2＋c2－b2
代入c＝acos B，得c＝a·，
2ac所以c＋b＝a，
所以△ABC是以A为直角的直角三角形． 又因为b＝asin C，所以b＝a·，所以b＝c， 所以△ABC也是等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
反思与感悟 (1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定． (2)常用的几种转化形式：
①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形； ②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；
③若cos A>0且 cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形； ④若sinA＋sinB＝sinC，则C＝90°，△ABC为直角三角形； ⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；
⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形． 4
跟踪训练2 在△ABC中，cos A＝，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．
5解 由已知设a－2＝x，则b＝2x，c＋2＝3x， 所以a＝2＋x，c＝3x－2，
4x＋（3x－2）－（x＋2）4
由余弦定理得cos A＝＝.
4x（3x－2）5解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10， 所以a＋b＝c，所以三角形为直角三角形． 题型三 有关创新型问题
例3 已知x>0，y>0，且x－xy＋y＝1，求x－y的最大值与最小值． 解 构造△ABC，使AB＝1，BC＝x，AC＝y，C＝60°， 由余弦定理知AB＝AC＋BC－2AC·BCcos C， ∴1＝x＋y－xy，即x，y满足已知条件，
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ca
xy123
由正弦定理得＝＝＝.
sin Asin Bsin 60°3
2323
∴x＝sin A，y＝sin B，
33
x2－y2＝(sin2A－sin2B)
2
＝(1－cos 2A－1＋cos 2B) 32
＝(cos 2B－cos 2A) 32
＝[cos(240°－2A)－cos 2A] 3233
＝(－cos 2A－sin 2A) 32223＝－sin(2A＋60°)．
3
∵0°
当2A＋60°＝90°时，x－y有最小值－. 32322
当2A＋60°＝270°时，x－y有最大值.
3
反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化．如本题中将x－y转化为三角恒等变换及y＝Asin(ωx＋φ)的值域的问题． 跟踪训练3 已知x，y均为正实数，且x＋y－3＝xy，求x＋y的最大值．
解 构造△ABC，角A，B，C的对边分别为x，y，3，C＝60°，由余弦定理知x＋y－3＝
2
2
2
2
2
2
43
xy，即x，y满足已知条件．
∵
y3＝＝＝2， sin Asin Bsin 60°
x∴x＝2sin A，y＝2sin B， ∴x＋y＝2(sin A＋sin B) ＝2[sin A＋sin(120°－A)] ＝2(sin A＋＝23(
31
cos A＋sin A) 22
31
sin A＋cos A) 22
＝23sin(A＋30°)． ∵0°
∴当A＝60°时，x＋y有最大值23.