习题课 正弦定理和余弦定理
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.
知识点一 正弦定理及其变形 1.
===2R. sin Asin Bsin Cabc2.a=2Rsin__A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C.(化角为边) 3.sin A=,sin B=,sin C=.(化边为角)
2R2R2R知识点二 余弦定理及其推论
abcb2+c2-a2
1.a=b+c-2bccos__A,cos A=.(边角互化)
2bc2
2
2
2.在△ABC中,c=a+b?C为直角,c>a+b?C为钝角;c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
知识点三 解三角形的几类问题和解法
已知条件 一边和两角(如a,B,C) 应用定理 正弦定理 弦定理求出b与c 由余弦定理求第三边c,再由正弦两边及其夹角(如a,b,C) 余弦定理和正弦定理 定理求出第二个角,再由A+B+C=180°,求出第三个角 两边和其中一边所对的角正弦定理 (如a,b,B) 三边a,b,c 余弦定理 再由三角形内角和定理求第三个角 知识点四 三角形内的角的函数关系
在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,则有
(1)sin(A+B)=sin__C,cos(A+B)=-cos__C,tan(A+B)=-tan__C, (2)sin
180°求C,最后由正弦定理求c 先由余弦定理的推论求出两个角,由正弦定理求A,再由A+B+C=一般解法 由A+B+C=180°,求A,再由正A+BCA+BC=cos ,cos =sin . 2222
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值 4π
例1 在△ABC中,AC=6,cos B=,C=. 54(1)求AB的长;
?π?(2)cos?A-?的值.
6??
4
解 (1)由cos B=,
532
则sin B=1-cosB=,
5π
又∵C=,AC=6,由正弦定理,
4得
ACsin B=ABπsin
4
,
6AB即=?AB=52. 3252
342
(2)由(1)得:sin B=,cos B=,sin C=cos C=,
55272
则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,
10cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=-π72-6
sin Asin=.
620
反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时,要注意结合题目中的条件,选择适当的定理.在进行求值运算时,要合理运用三角恒等变换的公式进行转化.
跟踪训练1 如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=
22
,AB=32,AD=3,则BD的长为________. 3
3
2π?π?,则cos?A-?=cos Acos+6?106?
答案
22
解析 ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=,
3
22222
∴在△ABD中,有BD=AB+AD-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2·32·3·=3.
3∴BD=3.
题型二 判断三角形的形状
例2 在△ABC中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状.
a2+c2-b2
解 由余弦定理知cos B=,
2aca2+c2-b2
代入c=acos B,得c=a·,
2ac所以c+b=a,
所以△ABC是以A为直角的直角三角形. 又因为b=asin C,所以b=a·,所以b=c, 所以△ABC也是等腰三角形. 综上所述,△ABC是等腰直角三角形.
反思与感悟 (1)判断三角形形状时,要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化.但究竟是化边为角还是化角为边,应视具体情况而定. (2)常用的几种转化形式:
①若cos A=0,则A=90°,△ABC为直角三角形; ②若cos A<0,则△ABC为钝角三角形;
③若cos A>0且 cos B>0且cos C>0,则△ABC为锐角三角形; ④若sinA+sinB=sinC,则C=90°,△ABC为直角三角形; ⑤若sin A=sin B或sin(A-B)=0,则A=B,△ABC为等腰三角形;
⑥若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=90°,△ABC为等腰三角形或直角三角形. 4
跟踪训练2 在△ABC中,cos A=,且(a-2)∶b∶(c+2)=1∶2∶3,试判断三角形的形状.
5解 由已知设a-2=x,则b=2x,c+2=3x, 所以a=2+x,c=3x-2,
4x+(3x-2)-(x+2)4
由余弦定理得cos A==.
4x(3x-2)5解得x=4,所以a=6,b=8,c=10, 所以a+b=c,所以三角形为直角三角形. 题型三 有关创新型问题
例3 已知x>0,y>0,且x-xy+y=1,求x-y的最大值与最小值. 解 构造△ABC,使AB=1,BC=x,AC=y,C=60°, 由余弦定理知AB=AC+BC-2AC·BCcos C, ∴1=x+y-xy,即x,y满足已知条件,
2
2
2
2
22
2
2
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2
2
ca
xy123
由正弦定理得===.
sin Asin Bsin 60°3
2323
∴x=sin A,y=sin B,
33
x2-y2=(sin2A-sin2B)
2
=(1-cos 2A-1+cos 2B) 32
=(cos 2B-cos 2A) 32
=[cos(240°-2A)-cos 2A] 3233
=(-cos 2A-sin 2A) 32223=-sin(2A+60°).
3
当2A+60°=90°时,x-y有最小值-. 32322
当2A+60°=270°时,x-y有最大值.
3
反思与感悟 解答此类题目,我们可以根据条件,构造三角形,利用正弦、余弦定理将问题予以转化.如本题中将x-y转化为三角恒等变换及y=Asin(ωx+φ)的值域的问题. 跟踪训练3 已知x,y均为正实数,且x+y-3=xy,求x+y的最大值.
解 构造△ABC,角A,B,C的对边分别为x,y,3,C=60°,由余弦定理知x+y-3=
2
2
2
2
2
2
43
xy,即x,y满足已知条件.
∵
y3===2, sin Asin Bsin 60°
x∴x=2sin A,y=2sin B, ∴x+y=2(sin A+sin B) =2[sin A+sin(120°-A)] =2(sin A+=23(
31
cos A+sin A) 22
31
sin A+cos A) 22
∴当A=60°时,x+y有最大值23.