∴|AB|＝（1+k）[

2

2

22

﹣4x1x2]＝（1+k）[

2

﹣4×]，

∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|＝4|OA|， ∴（1+k）[

2

2

2

﹣4×]＝4×．

化为：m＝2﹣2k． 联立

，解得：A

．

∴＝，化为：m＝

2

．

∴2﹣2k＝

2

2

2

，0＜k＜1．

2

∴解得

（1﹣k）＝k+1，

．

因此存在k，m满足题意．

【点评】本题考查了圆的标准方程及其相切性质、双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．过抛物线y＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4． （1）求抛物线的方程； （2）求

的值（其中O为坐标原点）；

2

（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．

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【分析】（1）设直线MN的方程为的值，从而得出抛物线的方程；

，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可求出p

（2）利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定可得出的值；

（3）设点、

，将AB⊥BC转化为两向量数量积为0，通过化简得出y4关于y3的关

系式，然后利用基本不等式可求出y4的取值范围．

【解答】（1）y＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）； 解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为

，设直线MN的方程为

，

2

将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y﹣2mpy﹣p＝0．

22

由韦达定理得

2

，由于p＞0，解得p＝2．

因此，抛物线的方程为y＝4x；

（2）＝；

（3）设点、．

，．

∵AB⊥BC，则．

易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，

．

①当y3+2＜0时，由基本不等式可得

，

当且仅当

，即当y3＝﹣6时，等号成立；

②当y3+2＞0时，

．

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当且仅当

时，即当y3＝2时，等号成立，

事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．

综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．

【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．

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