①－②得，－Tn＝2＋2＋2＋…＋2－n·2所以Tn＝(n－1)·2所以Sn＝Tn＋

2

n＋1

n＋1

23nn＋1

，

＋2. ，

nn＋1

即Sn＝(n－1)·2＋

nn＋1

2

＋2.

18．(本小题满分12分)(2020·湖南、湖北八市十二校联合调研)近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：

表1：

x y 1 6 2 11 3 21 4 34 5 66 6 101 7 196 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，在推广期内y＝a＋bx与y＝c·d(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2：

表2：

支付方式 比例 现金 10% 乘车卡 60% 扫码 30% x已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7111折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件

632

发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．

参考数据：

77－y －v ∑xiyi i＝1∑xivi i＝1100.54 62.14 71.54 25.35 50.12 3.47 1?其中vi＝lg yi，－v＝∑vi? ?7i＝1???

^^^

参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝a＋βu的

－－

∑uivi－nuv^i＝1^－^－

斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝n，a＝v－βu.

－22

∑ui－nui＝1n解 (1)根据散点图判断，y＝c·d适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型．

(2)∵y＝c·d，两边同时取常用对数得，lg y＝lg (c·d)＝lg c＋xlg d； 设lg y＝v，∴v＝lg c＋xlg d， －－2

∵x＝4，v＝1.54，∑xi＝140，

i＝1

7

7

xxx∑xivi－7xvi＝1^

∴lg d＝

－22

∑xi－7x7

＝50.12－7×4×1.547

＝＝0.25. 2

140－7×428

i＝1

把样本中心点(4,1.54)代入v＝lg c＋xlg d，得

lg c＝0.54 ，

^^

∴v＝0.54＋0.25x，∴lg y＝0.54＋0.25x，

^0.54＋0.25x0.540.25x0.25x∴y关于x的回归方程式为y＝10＝10×(10)＝3.47×10， ^2

把x＝8代入上式，y＝3.47×10＝347. 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z， 则Z的取值可能为2,1.8,1.6,1.4，

^

P(Z＝2)＝0.1；P(Z＝1.8)＝0.3×＝0.15；

P(Z＝1.6)＝0.6＋0.3×＝0.7；P(Z＝1.4)＝0.3×＝0.05，

分布列为：

13

16

12

Z P 2 0.1 1.8 0.15 1.6 0.7 1.4 0.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为 2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．

19．(本小题满分12分)(2020·广州市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且AD＝PB.

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若AD⊥PB，求二面角D－PB－C的余弦值．

解 (1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OB，BD，

因为底面ABCD为菱形， ∠BAD＝60°， 所以AD＝AB＝BD. 因为O为AD的中点， 所以OB⊥AD.

在△APD中，∠APD＝90°，O为AD的中点， 1

所以PO＝AD＝AO.

2

设AD＝PB＝2a，则OB＝3a，PO＝OA＝a， 因为PO＋OB＝a＋3a＝4a＝PB， 所以OP⊥OB.

因为OP∩AD＝O，OP?平面PAD，AD?平面PAD， 所以OB⊥平面PAD. 因为OB?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)解法一：因为AD⊥PB，

2

2

2

2

2

2

AD⊥OB，OB∩PB＝B， PB?平面POB，

OB?平面POB，

所以AD⊥平面POB. 所以PO⊥AD.

由(1)得PO⊥OB，AD⊥OB，

所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直．

以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，B(0，3，0)，P(0,0,1)， →→→→

所以PD＝(－1,0，－1)，PB＝(0，3，－1)，BC＝AD＝(－2,0,0)， 设平面PBD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， →??n·PD＝－x1－z1＝0，

则?

→??n·PB＝3y1－z1＝0，

令y1＝1，则x1＝－3，z1＝3， 所以n＝(－3，1，3)．

设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)， →??m·BC＝－2x2＝0，

则?

→??m·PB＝3y2－z2＝0，

令y2＝1，则x2＝0，z2＝3， 所以m＝(0,1，3)．

设二面角D－PB－C为θ，由于θ为锐角， 所以|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝

27

＝.

72×74

27

所以二面角D－PB－C的余弦值为.

7解法二：因为AD⊥PB，

AD⊥OB，OB∩PB＝B， PB?平面POB，