解得e＝
2
.故选D. 2
??sin
10．(2020·郑州一模)已知函数f(x)＝?
?cos?
x＋a，x≤0，x＋b，x>0
的图象关于y轴对称，则y＝sinx的图象向左平移________个单位，可以得到y＝cos(x＋a＋b)的图象．( )
A.
πππ
B. C. D．π 432
答案 D
??sin解析 函数f(x)＝?
?cos?
x＋a，x≤0，x＋b，x>0
的图象关于y轴对称，故f(x)＝f(－x)，
π
所以sin(x＋a)＝cos(－x＋b)＝cos(x－b)，整理得2kπ＋a＝－b(k∈Z)，
2
π
所以a＋b＝2kπ＋(k∈Z)，
2
π??则y＝cos(x＋a＋b)＝cos?x＋2kπ＋?＝－sinx， 2??即y＝sinx的图象向左平移π个单位， 得到y＝sin(x＋π)＝－sinx.故选D.
11．(2020·大同一模)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为3的球面上，AB⊥AC，则该三棱锥体积的最大值是( )
A.
321664
B. C. D．64 333
答案 A
122
解析 设AB＝m，AC＝n，则S△ABC＝mn，△ABC外接圆的直径为m＋n，如图，
2
1111?
三棱锥P－ABC体积的最大值为×mn×PO1＝×mn×?
3232?
?1m＋n9－＋3?≤×
44?3
9－t＋3)，f′(t)＝
m2＋n222
?
? ?m2＋n21?
，则f(t)＝t(9－＋3?，设t＝434?m2＋n21
3
?9－t－t＋3???，令f′(t)＝0，得t＝8，f(t)在(0,8)上递增，在[8,9]上递减，∴
29－t??
f(t)max＝f(8)＝，即该三棱锥体积的最大值是.故选A.
32
3
323
??2x，0≤x≤1，
12．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝?1
，x>1.??x
1
若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
4( )
?59?A.?，? ?44??59?C.?，?∪{1} ?44?
答案 D
?59?B.?，? ?44??59?D.?，?∪{1} ?44?
1
解析 如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象．
4
1
(1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况．
41
当直线y＝－x＋a过点B(1,2)时，
4192＝－＋a，解得a＝.
449所以0≤a≤.
4
11
(2)再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：
4x11?1?①相切时，由y′＝－2＝－，得x＝2，此时切点为?2，?，则a＝1.
x4?2?
11
②相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一4x155
个交点．过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥. 444
?59?结合图象可得，所求实数a的取值范围为?，?∪{1}．故选D. ?44?
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
23
13．(2020·宝鸡二模)已知曲线f(x)＝x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
3sinα－cosα的值为________． 2
2sinαcosα＋cosα3答案
5
232
解析 因为曲线f(x)＝x，所以函数f(x)的导函数f′(x)＝2x，可得f′(1)＝2，因
323
为曲线f(x)＝x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，所以tanα＝f′(1)＝2，所以
3sinα－cosαtanα－14－13
＝＝＝. 2
2sinαcosα＋cosα2tanα＋14＋15
14．(2020·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
2
2
2
2
2
答案 5
11233
解析 第一次循环，S＝，x＝2；第二次循环，S＝＋＝，x＝3；第三次循环，S＝
2222234
＋＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5. 22
15．(2020·郴州二模)某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种．
答案 156
解析 安排6名老师到4个班，其中按1,1,2,2分法，共有C6C5C4C2＝180种，刘老师和王老师分配到一个班，共有C4C3A2＝24种，所以刘老师和王老师不在一起的安排方案有180－24＝156种．
112
1122
16．(2020·海南二模)已知菱形ABCD，E为AD的中点，且BE＝3，则菱形ABCD面积的最大值为________．
答案 12
解析 设AE＝x，则AB＝AD＝2x，∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴
??AB＋AE>BE，???AB－AE 2 ??2x＋x>3， 即???2x－x<3 2 2 ??x>1， ????x<3， ∴x∈(1,3)，设∠BAE＝θ，在△ABE中，由 2 5x－9 余弦定理可知9＝(2x)＋x－2·2x·xcosθ，即cosθ＝2，S4x＝4x2 菱形ABCD＝2x·2x·sinθ9?2?5x－422 1－?－9x－10x＋9，令t＝x，则t∈(1,9)，则S2?＝?4x? 2 菱形ABCD＝ －9[t－5－16]， 当t＝5时，即x＝5时，S菱形ABCD有最大值12. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)(2020·潍坊市三模)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2(n∈N)． (1)求{an}的通项公式； ?2＋2 (2)求数列? ?ann＋1 n* ? ?的前n项和Sn. ? 解 (1)由n＝1得a1＝2， 因为a1·2a2·3a3·…·nan＝2， 当n≥2时，a1·2a2·3a3·…·(n－1)an－1＝22* 由两式作商得，an＝(n>1且n∈N)， n－1 n， n又因为a1＝2符合上式， 2* 所以an＝(n∈N)． n2＋2 (2)设bn＝ n＋1 an， n则bn＝n＋n·2， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋2＋…＋n)＋(2＋2·2＋3·2＋…＋(n－1)·2 2 3 n－1 ＋ n·2n)， 设Tn＝2＋2·2＋3·2＋…＋(n－1)·2所以2Tn＝2＋2·2＋…＋(n－2)·2 2 3 2 3 n－1 ＋n·2， ① nn＋1 nn－1 ＋(n－1)·2＋n·2， ②