(z?)n??n?1Pn(cos?)22r?z??2rz?cos?n?0r
1?故得到
(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz???n?1?4??0n?0?arql?a
ql?aa3a51an?1?(?a)n?1Pn(cos?)???3P2(cos?)?5P4(cos?)??n?12??0?r3r5r4??0n?0n?1rql????
4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为
4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0a?8?a??2?a?Q???? (r?a) ???? (r?a)
4?1?a?23?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0r?8?r??2?r?Q解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函
数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度
z ?? Q?Q?(cos??cos)??(cos?)222?a22?a
再根据边界条件确定系数。
a x o y
设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界
条件为： ① ②
题 4.20图
?1(0,?)为有限值； ?2(r,?)?0(r??)
③
?1(a,?)??2(a,?)，
??1??2?)?r?r?r?a?0(Q?(cos?)22?a
根据条件①和②，可得
?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
?1(r,?)??AnrnPn(cos?)n?0?? （1）
?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?)n?0 （2）
代入条件③，有
n?n?1Aa?Bann （3）
?[Annan?1?Bn(n?1)a?n?2]Pn(cos?)?n?0?Q2??0a2?(cos?) （4）
将式（4）两端同乘以
Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得 (2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d??2??4??0a0
?Annan?1?Bn(n?1)a?n?2(2n?1)QPn(0)4??0a2 （5）
?0?Pn(0)??(n?1)n21?3?5(?1)?2?4?6n?其中
n?1,3,5,n?2,4,6,
QanQAn?P(0)Bn?Pn(0)n?1n4??0a4??0由式（3）和（5），解得 ，
代入式（1）和（2），即得到
4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0a?8?a??2?a?Q??? (r?a) ????? (r?a)
4?1?a?23?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0r?8?r??2?r?Q4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？
q??x o x x xq 解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的
?点P处时，其像电荷q??q，与导体平面相距为x???x，如
题 4.21图
题4.21图所示。像电荷q在点P处产生的电场为
?E?(x)?ex?q4??0(2x)2
所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为
We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx??24??0(2x)16??0d
q2Wo??We?16??0d
外力所作的功为
4.22 如题4.22图所示，一个点电荷放在60的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：（1）所
?q有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。
解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为
qq???q,q1
???2cos75??0.366?x1???2sin75??1.366??y1 ???2cos165??1.366?x2???2sin165??0.366??y2?y ? q1??q,q2? q2 ? q3q (2,1,0) (1,1,0) 60? o ? q4? q5???q,q3???2cos195???1.366?x3???2sin195???0.366??y3 ???2cos285??0.366?x4???2sin285???1.366??y4???2cos315??1?x5???2sin315???1??y5
x
??q,q4 题 4.22 图
???q,q5（2）点x?2,y?1处电位
?q4???q2?q3?q51?qq1?(2,1,0)?????????4??0?RR1R2R3R4R5?
q4??0(1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?0.321q?2.88?109q(V)4??0
4.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设m?2?10kg，h?0.02m）。 解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的作用
?3??力。根据镜像法可知，镜像电荷为q??q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静
q2fe??24??(2h) 0电力为
q2?mg2f4??(2h)mg0令e的大小与重力相等，即
z z z q ?0 h ? 题 4.24图（a）
o ? h q R1 q?q??P h ? o R? R2?0 h o ? 0 P 图 2.13q ? 题 4.24图（c）
4.24图（ b） 题
于是得到
q?4h??0mg?5.9?10?8C
4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。
解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）
?