?in(r,?)满足的边界条件为

① ②

?in(0,?)为有限值；

?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以

Q4??0r2?p4??r201?in(r1,?)?P1(cos?)

n?in(r,?)??AnrPn(co?s)n?0?由条件①可知

?in(r,?)的通解为

?

由条件②，有 比较两端

?Anr1nPn(cos?)?n?0Q4??0r2?p4??0r12P1(cos?)

Pn(cos?)的系数，得到

A0?Q4??0r2，

A1??p4??0r13，

An?0(n?2)

?1(r,?)?最后得到

Q4??0r2?p4??0(1r?3)cos?2rr1

??1?nr?r1??0?1???0球壳内表面上的感应电荷面密度为

???1?rr?r1??3pcos?4?r13

感应电荷的总量为

3p2q1???1dS??cos??2?r1sin?d??03?4?r10S

4.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？ z er

解 设球内的均匀场为

H1?ezH0(r?a)，球外的场为H2(r?a)，如

题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为

JS?n?(H2?H1)r?a?er?(H2?ezH0)r?a?a ? H

o 1 H2

er?H2r?a?e?H0sin?

题 4.16图

若令

er?H2r?a?0，则得到球面上的电流面密度为

JS?e?H0sin?

这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。 4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。

?（1）证明：球内的电场是均匀的，等于

P?0；

4?R3??P?3。 （2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，

解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生

的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。

z 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为

?p?P?n?P?er?Pcos?介质球内、外的电位

?1和?2满足的边界条件为

R P o ?(0,?)为有限值； ① 1② ③

?2(r,?)?0(r??)； ?1(R,?)??2(R,?)

??1??2?)?r?rr?R 题 4.17图

?0(?Pcos?

因此，可设球内、外电位的通解为

?1(r,?)?Ar1cos?

?2(r,?)?B1cos?r2

由条件③，有

A1R?B12B1?(A?)?P01R3R2，

PPR3A1?B1?3?0， 3?0

解得

?1(r,?)?于是得到球内的电位

PPrcos??z3?03?0

PP??3?03?0

E1????1??ez故球内的电场为 （2）介质球外的电位为

PR314?R3PP??2(r,?)?cos??cos??cos?4??0r23?0r24??0r23 4?R3??3为介质球的体积。故介质球外的电场为 其中

P???21??2(er2cos??e?sin?)E2????2(r,?)??er?e??34??0r?rr?r

可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。

4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。

解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设

?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos? ?0(r,?)?是点电荷q的电位，

?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为 ① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。

z ?(r,?)的通解为

由条件①，可得inq r1 a o 题4.18图

?in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)n?0?

为了确定系数

An，利用1R的球坐标展开式

??rn??n?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?0r1??R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n??n?0r

an?0(a,?)?P(cos?)?n?1n?(r,?)在球面上展开为 4??0n?0r1将0

q?代入条件②，有

?Aann?0??n?1anPn(cos?) ?P(cos?)?0?n?1n4??0n?0r1

q?qa2n?1An??n?1P(cos?)4??rn01比较的系数，得到

a2n?1?(r,?)??P(cos?)?n?1n4??0R4??0n?0(rr1)故得到球外的电位为

qq?讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到

ar1a2n?1P(cos?)??n?1nr)n?0(rr2?(a2r1)2?2r(a2r1)cos?1?

2??(r,?)r?ar1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此电荷由此可见，的第二项是位于

正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。

z a

R P(r,?)

4.19 一根密度为证明：对于rql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。

?a的点，有

???

? o r ql?aa3a5?(r,?)?P2(cos?)?5P4(cos?)???2??0?r3r35r解 线电荷产生的电位为

?a 题4.19图

ql1??(r,?)?dz??aR4??04??0?对于rqlaa?a?1r?z??2rz?cos?22dz?

?a的点，有